매니 폴드 란 무엇입니까?

Principal Component Analysis, LDA 등과 같은 차원 축소 기법에서는 종종 매니 폴드라는 용어가 사용됩니다. 비 기술 용어의 매니 폴드 란 무엇입니까? 점 $x$ 가 치수를 줄이려는 구에 속하고 잡음 $y$ 와 와 가 서로 관련 이 없으면 잡음으로 인해 실제 점 가 서로 멀리 떨어져 있습니다. 따라서 노이즈 필터링이 필요합니다. 따라서 차원 축소는 에서 수행됩니다 . 따라서 여기서 와 는 다른 매니 폴드에 속합니까?$x$$y$$x$$z = x+y$$x$$y$

저는 로봇 비전에서 자주 사용되는 포인트 클라우드 데이터를 연구하고 있습니다. 획득시 노이즈로 인해 포인트 클라우드에 노이즈가 발생하고 치수 축소 전에 노이즈를 줄여야합니다. 그렇지 않으면 잘못된 치수 축소가 발생합니다. 그렇다면 매니 폴드는 무엇이며 노이즈는 속하는 동일한 매니 폴드의 일부 입니까?$x$

비 기술적 용어로, 매니 폴드는 선, 곡선, 평면, 표면, 구, 공, 원통, 원환 체, "blob"등과 같은 유한 치수를 갖는 연속적인 기하학적 구조입니다. :

수학자들은 가능한 유한 치수 대해 "곡선"(치수 1) 또는 "표면"(치수 2) 또는 3D 객체 (치수 3)를 말하는 일반적인 용어 입니다. 1 차원 매니 폴드는 단순히 곡선 (선, 원 ...)입니다. 2 차원 매니 폴드는 단순히 표면 (평면, 구, 원환 체, 원통 ...)입니다. 3 차원 매니 폴드는 "풀 오브젝트"(볼, 풀 큐브, 3D 공간)입니다.$n$

매니 폴드는 종종 방정식으로 설명됩니다. 과 같은 점 세트 는 1 차원 매니 폴드 (원)입니다.x 2 + y 2 = $(x,y)$$x^2+y^2=1$

매니 폴드는 모든 곳에서 동일한 치수를 갖습니다. 예를 들어 구 (치수 1)를 구 (치수 2)에 추가하면 결과로 생성되는 기하학적 구조는 매니 폴드가 아닙니다.

미터법 공간 또는 토폴로지 공간에 대한 일반적인 개념과는 달리 연속적인 점 집합에 대한 자연스러운 직관을 설명하기 위해 매니 폴드는 유한 치수 벡터 공간과 같이 로컬에서 간단한 것으로 의도됩니다. . 이것은 종종 기하학적 구체의 의미를 갖지 못하는 추상 공간 (무한 치수 공간과 같은)을 배제합니다.$\mathbb{R}^n$

벡터 공간과 달리 매니 폴드는 다양한 모양을 가질 수 있습니다. 일부 매니 폴드는 쉽게 시각화 할 수 있으며 (구, 공 ...) 일부는 클라인 병 또는 실제 투영 평면 과 같이 시각화하기가 어렵습니다 .

통계, 기계 학습 또는 응용 수학에서 일반적으로 "매니 폴드"라는 단어는 종종 "선형 부분 공간과 유사하지만"곡선이라고 할 때 사용됩니다. 다음과 같은 선형 방정식을 작성할 때마다 : 선형 (병렬) 부분 공간 (여기서는 평면)을 얻습니다. 일반적으로 방정식이 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 7 과 같이 비선형 인 경우 매니 폴드 (여기서는 확장 된 구)입니다.$3x+2y-4z=1$$x^2+2y^2+3z^2=7$

예를 들어 ML 의 " 매니 폴드 가설 "은 "고차원 데이터는 고차원 노이즈가 추가 된 저 차원 매니 폴드의 포인트"라고 말합니다. 2D 노이즈가 추가 된 1D 원의 포인트를 상상할 수 있습니다. 점이 정확히 원에 있지는 않지만 통계적으로 방정식 을 만족시킵니다 . 원은 기본 매니 폴드입니다. $x^2+y^2=1$

$M$

$\mathbb{R}^n$$n$

$n$$c_i: M \to \mathbb{R}$$c: M \to \mathbb{R}^n$

$\mathbb{R}^N$$N \ge n$

여기서 "구조"를 정확하게하기 위해서는 토폴로지의 기본 개념 ( def. ) 을 이해해야하는데 , 이는 "로컬" 행동에 대한 정확한 개념을 만들 수있게 하므로 위의 "로컬"을 의미 합니다. "등가"라고 말하면 등가 토폴로지 구조 ( 동종 형 )를 의미하고, "구조 유지"라고 말하면 동일한 것을 의미합니다 (등가 토폴로지 구조 생성).

또한 매니 폴드 에서 미적분학 을 수행 하려면 위의 두 가지 조건을 따르지 않는 추가 조건이 필요합니다. 기본적으로 "차트를 계산할 수있을 정도로 차트가 충분히 작동합니다"와 같은 것이 있습니다. 이들은 실제로 가장 많이 사용되는 매니 폴드입니다. 일반 토폴로지 매니 폴드와 달리 미적분학 외에도 삼각 분할 을 허용 하는데, 이는 포인트 클라우드 데이터와 관련된 응용 프로그램에서 매우 중요합니다 .

모든 사람이 (토폴로지) 매니 폴드에 대해 동일한 정의를 사용하는 것은 아닙니다. 몇몇 저자는 위의 조건 (1) 을 만족시키는 것으로 정의 할 것이며 반드시 (2) 일 필요는 없습니다. 그러나, (1) 및 (2)를 모두 만족시키는 정의가 훨씬 더 잘 작동하므로, 실무자에게 더 유용하다. 직관적으로 (1)은 (2)를 의미하지만 실제로는 그렇지 않습니다.

$\mathbb{R}^n$

이와 관련하여, 매니 폴드라는 용어는 정확하지만 불필요하게 하이 팔 루틴입니다. 기술적으로 매니 폴드는 충분히 매끄럽고 연속적인 공간 (토폴로지가있는 점 집합)입니다 (어느 정도의 노력으로 수학적으로 명확하게 정의 할 수있는 방식).

원래 요인의 가능한 모든 값의 공간을 상상해보십시오. 치수 축소 기술 후에는 해당 공간의 모든 점을 얻을 수있는 것은 아닙니다. 대신, 해당 공간 내부에 포함 된 일부 하위 공간의 포인트 만 얻을 수 있습니다. 그 내장 된 하위 공간은 매니 폴드의 수학적 정의를 충족시킵니다. PCA와 같은 선형 차원 축소 기술의 경우, 해당 하위 공간은 선형 하위 공간 (예 : 하이퍼 평면)이며 비교적 사소한 매니 폴드입니다. 그러나 비선형 차원 축소 기술의 경우 하위 공간이 더 복잡 할 수 있습니다 (예 : 곡면 형 초 표면). 데이터 분석을 위해 하위 공간임을 이해하는 것이 매니 폴드의 정의를 충족한다는 사실을 알고 추론하는 것보다 훨씬 중요합니다.