단위 루트에 대한 직관적 인 설명

단위근 테스트의 맥락에서 단위근이 무엇인지 직관적으로 설명 할 수 있습니까?

나는 이 질문 에서 내가 설립 한 것과 매우 비슷한 방식으로 생각하고 있습니다.

단위 루트의 경우 단위 루트 테스트가 시계열의 정상 성을 테스트하는 데 사용된다는 것을 알고 있습니다.

평신도 나 매우 기본적인 확률 및 통계 과정을 공부 한 사람에게 어떻게 설명하겠습니까?

최신 정보

나는 whuber의 대답을 받아 들였다. 그러나 나는 여기에 온 모든 사람들이 패트릭과 마이클의 대답을 읽을 것을 촉구합니다. 그것들은 유닛 루트를 이해하는 자연스러운 "다음 단계"이기 때문입니다. 그들은 수학을 사용하지만 매우 직관적 인 방식으로 사용합니다.

intuition unit-root

— 루카스리스
소스

이 질문에 대한 세 가지 현재 답변 (Michael Chernick 's, Patrick Caldon 's & whuber 's)을 모두 찬성했습니다. 종합하면, 직관에서 기초 수학에 이르기까지 단위근에 대한 철저한 이해를 제공한다고 생각합니다. 생산적인 질문에 +1

— gung

예, @ 궁, 나는 답변의 품질에 정말 놀랐습니다. 누군가가 나에게 Unit Root에 대해 물었을 때의 1 번 링크입니다.

— Lucas Reis

Pooh와 경쟁 할 수는 없지만 [다른 그래픽이 필요합니다.] [1] 마지막 두 시리즈 (R 및 E)에는 단위 루트가 없으며 고정되지 않습니다. 그들이 표류하는 거리를 볼 수 있습니다. [1] : stats.stackexchange.com/a/25481/7071 .

— Dimitriy V. Masterov

답변:

133

그는 방금 다리에 왔습니다. 그가가는 곳을 보지 않고 뭔가 넘어졌고, 전나무 콘이 그의 발에서 강으로 뛰어 들었다.

푸우는 다리 아래 천천히 떠 다니면서 "동료"라고 말했다. 그러나 그는 평온한 날 이었기 때문에 대신 강을 바라 보겠다고 생각했습니다. 그래서 그는 누워서 보았습니다. . . 그리고 갑자기, 그의 전나무 콘이 미끄러 져 나갔습니다.

푸우가 말했다. 푸우는 "나는 반대쪽에 떨어 뜨렸다. 그리고 이쪽에 나왔다! 다시 할 수 있을까?"

AA Milne, Pooh Corner의 집 (VI. Pooh가 새로운 게임을 발명하고 eeyore가 참여합니다.)

다음은 물 표면을 따라 흐르는 흐름을 보여줍니다.

푸우 스틱 1

화살표는 흐름 방향을 나타내며 유선 으로 연결됩니다 . 전나무 콘은 떨어지는 유선을 따르는 경향이 있습니다. 그러나 스트림에서 같은 장소에 떨어질 때마다 항상 같은 방식으로 수행되는 것은 아닙니다 . 물, 바람 및 기타 자연의 변덕으로 인해 경로를 따라 발생하는 임의의 변화가 이웃에 영향을 미칩니다. 스트림 라인.

푸 스틱 2

여기에서 전나무 콘은 오른쪽 상단 근처에 떨어졌습니다. 수류 선 (수렴하여 아래로 그리고 왼쪽으로 흐르고 있음)을 따라 갔지만 길을 따라 약간 우회했습니다.

"자가 회귀 프로세스"(AR 프로세스)는 특정 흐름처럼 동작하는 것으로 생각되는 일련의 숫자입니다. 2 차원 그림은 각 숫자가 2 개의 선행 값과 임의의 "우회"에 의해 결정되는 프로세스에 해당합니다 . 시퀀스의 각 연속 쌍을 스트림의 점 좌표로 해석하여 유추 할 수 있습니다. 즉각적으로 스트림의 흐름은 AR 프로세스에서 제공하는 것과 동일한 수학적 방식으로 전나무 원뿔의 좌표를 변경합니다.

전나무 원뿔이 차지하는 각 점의 좌표를 쓴 다음 각 좌표 세트의 마지막 수를 제외한 모든 것을 지워서 흐름 기반 그림에서 원래 프로세스를 복구 할 수 있습니다.

자연, 특히 스트림은 AR 프로세스에 해당하는 흐름보다 풍부하고 다양합니다. 시퀀스의 각 숫자 는 임의 우회 부분을 제외하고는 이전 모델 에 대해 동일한 고정 방식 으로 의존한다고 가정하기 때문에 AR 프로세스를 나타내는 흐름은 제한된 패턴을 나타냅니다. 여기에서 볼 수 있듯이 실제로 스트림처럼 흐를 수 있습니다. 그들은 또한 배수구 주위의 소용돌이처럼 보일 수 있습니다. 흐름은 역으로 일어날 수 있으며, 배수구에서 바깥쪽으로 튀어 나오는 것처럼 보입니다. 그리고 그들은 두 개의 물줄기가 서로 충돌하는 것처럼 보일 수 있습니다. 두 개의 물 공급원이 서로 직접 흐른 다음 측면으로 분리됩니다. 그러나 그것은 그것에 관한 것입니다. 예를 들어, 측면에 에디가있는 흐르는 시내를 가질 수 없습니다. AR 프로세스는 너무 단순합니다.

푸 스틱 3

이 흐름에서, 전나무 콘은 오른쪽 아래 구석에 떨어졌고, 위치의 약간의 임의의 변화에도 불구하고 오른쪽 상단의 에디로 빠르게 운반되었습니다. 그러나 그것은 망각으로부터 그것을 구출하는 동일한 임의의 움직임으로 인해 이동을 멈추지 않을 것입니다. 전나무 원뿔의 좌표는 약간 움직이며 실제로는 에디 중심의 좌표를 중심으로 진동하는 것으로 보입니다. 첫 번째 흐름에서 좌표는 흐름의 중심을 따라 필연적으로 진행되어 원뿔을 빠르게 포착하여 임의 우회로가 속도를 늦출 수있는 것보다 빠르게 옮겼습니다 . 대조적으로, 에디 주위를 돌면 고정이 표시됩니다.전나무 콘이 포착되는 공정; 흐름이 원천에서 흘러 나오는 흐름을 따라 흘러 내리는 경향이 있습니다.

또한, AR 프로세스의 흐름이 다운 스트림으로 이동하면 가속됩니다. 원뿔이 따라 움직일수록 더 빨라집니다.

AR 흐름의 특성은 몇 가지 특수한 "특성"방향에 의해 결정되는데, 이는 일반적으로 스트림 다이어그램에서 분명합니다. 유선은 이러한 방향으로 수렴하거나이 방향에서 오는 것 같습니다. AR 프로세스에서 계수가있는 것처럼 항상 많은 특성 방향을 찾을 수 있습니다 (이 그림에서 2 개). 각 특성 방향과 관련된 숫자는 "루트"또는 "고유 값"입니다. 수의 크기 가 1보다 작은 경우, 해당 특성 방향의 흐름 은 중앙 위치를 향 합니다. 뿌리의 크기가 1보다 크면 흐름 이 중앙 위치에서 멀어지면서 가속 됩니다 . $1$ 원뿔에 영향을 미치는 임의의 힘에 의해 지배됩니다. "무작위 걷기"입니다. 원뿔은 천천히 움직일 수 있지만 가속되지는 않습니다.

(그림 중 일부는 제목에 두 근의 값을 표시합니다.)

아주 작은 뇌의 곰인 Pooh조차도 모든 흐름이 하나의 소용돌이 또는 소용돌이를 향할 때만 스트림이 전나무 원뿔을 포착한다는 것을 인식 할 것입니다. 그렇지 않으면, 임의의 우회로 중 하나에서 원뿔은 결국 그 크기 가 보다 큰 뿌리의 흐름 부분의 영향을 받아 스스로 다운 스트림에서 빠져 나와 영원히 사라질 것입니다. 결과적으로 AR 특성은 모든 특성 값의 크기가 1 미만인 경우에만 고정 될 수 있습니다 . $1$

경제학자는 아마도 시계열 분석 및 AR 프로세스 기술의 고용주에 대한 최고의 분석가 일 것입니다. 일련의 데이터는 일반적으로 시야에서 벗어나지 않습니다. 따라서, 그 값이 만큼 클 수있는 특징적인 방향이 있는지, 즉 "단위 루트" 인지에 대해서만 관심이있다 . 데이터가 그러한 흐름과 일치하는지 알면 경제학자에게 그의 푸우 스틱의 잠재적 운명, 즉 미래에 일어날 일에 대해 많은 것을 알 수 있습니다. 그렇기 때문에 단위 루트를 테스트하는 것이 중요 할 수 있습니다. 훌륭한 Wikipedia 기사 는 몇 가지 의미를 설명합니다. $1$

Pooh와 그의 친구들은 경험 성의 문구 테스트를 발견했습니다.

어느 날 Pooh와 Piglet, Rabbit과 Roo는 모두 Poohsticks를 함께 연주했습니다. 그들은 토끼가 "가자!"고 말했을 때 막대기를 떨어 뜨 렸습니다. 그리고 그들은 다리의 다른 쪽을 향해 서둘 렀으며, 이제 그들은 모두 막대기가 먼저 나올 때까지 기다렸다. 그러나 그날 강이 매우 게으 르기 때문에 오랜 시간이 걸렸습니다.

"내가 보여요!" 루 울었다. "아니, 난 할 수 없어. 다른 것이있어 "

"아니요"푸우가 말했다.

루는 "스틱이 고착 될 것으로 예상한다"고 말했다. "토끼, 내 막대기가 붙어 있습니다. 당신의 막대기가 붙어 있습니까, Piglet?"

토끼는“그들은 항상 생각보다 오래 걸린다.

1928 년부터이 구절은 최초의 "Unit Roo test"로 해석 될 수 있습니다.

— 우버
소스

마지막 줄에 대한 사과드립니다.

— whuber

+1 @whuber :이 사이트에 새로운 표준을 설정했다고 생각합니다. 도표와 Winnie the Pooh를 포함하지 않는 미래의 직관적 인 설명에 크게 실망 할 것입니다.

— Wayne

@whuber 수학을 피하는 단위근에 대한 매우 재미있는 설명. +1입니다. 그러나 설명을하기 위해 책 장이 필요한 것 같습니다. 또한 독자는 1의 근이 Statisonaity의 경계를 표시한다고 믿어야합니다. 필자가 다항식을 사용하는 수학이 반드시 필요하다는 것을 보여주기 위해. "Unit Root"대신 "Unit Roo"끝에있는 말장난은 값이 없었습니다.

— Michael Chernick

근본의 크기와 프로세스의 동작 사이의 연결은 다항식이 왜 빨간 청어인지를 보여주는 별도의 주장으로 쉽게 만들 수 있습니다. 뿌리는 성장률 입니다. 이것은 보다 큰 크기의 숫자를 곱 하면 크기 등이 증가 한다는 사실로 귀결됩니다 . 설명 길이에 대한 요점은 표시에 있습니다. 하지만 상황을 상상해보십시오. 친구 나 가족이 여유롭게 채팅하는 동안이 질문을합니다. 답을 몇 가지 방정식으로 제한하겠습니까, 아니면 실제로 이해하도록 돕기 위해 부드럽게 확장하겠습니까?

1

$1$

— whuber

또 다른 좋은 대답입니다. 글을 읽음으로써 주제에 대해 이미 잘 이해하고있을 때도 종종 내용을 배웁니다.

— 매크로

두 개의 프로세스를 상상해보십시오 . $AR(1)$

공정 1 : $v_k = 0.5 v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
프로세스 2 : $v_k = v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
$\epsilon_i$ 는 에서 가져옵니다. $N(0,1)$

프로세스 1에는 단위 루트가 없습니다. 프로세스 2에는 단위 루트가 있습니다. Michael의 답에 따른 특성 다항식을 계산하여이를 확인할 수 있습니다.

두 프로세스를 모두 0에서 시작한다고 가정합니다 (예 : . 이제 우리가 양수 엡실론의 "좋은 실행"을했을 때 어떤 일이 발생하는지, 두 프로세스가 도달한다고 상상해보십시오 . $v_1 = 0$ $v_{10} = 5$

다음은 어떻게됩니까? 시퀀스가 어디로 갈 것으로 예상합니까?

것으로 예상합니다 . 따라서 프로세스 1 사례는 , , 등 을 갖습니다 . $\epsilon_{i} = 0$ $v_{11} = 2.5$ $v_{12} = 1.25$ $v_{13} = 0.625$

그러나 프로세스 2의 경우 , , 등이 예상됩니다 . $v_{11} = 5$ $v_{12} = 5$ $v_{13} = 5$

따라서 한 가지 직감은 "좋은 / 나쁜 행운의 달리기"가 단위근으로 프로세스를 푸시 할 때, 역사적 행운이나 나쁜 행운에 의해 순서가 "위치에 갇히게"됩니다. 여전히 무작위로 이동하지만 "강제로 되 돌리는"것은 없습니다. 반면에 단위 루트가없고 프로세스가 폭발하지 않으면 프로세스에 "힘"이 발생하여 프로세스가 이전 위치로 되돌아 가도록합니다. 비록 임의의 노이즈는 여전히 조금씩 노크합니다. .

" "은 감쇠되지 않은 진동을 포함 할 수 있으며 간단한 예는 다음과 같습니다. . 이것은 양수에서 음수로 바운스되지만, 진동은 무한대로 폭발하거나 0으로 댐핑되도록 예정되어 있지 않습니다. 더 복잡한 종류의 진동을 포함하는 더 많은 형태의 "정지"를 얻을 수 있습니다. $v_k = -v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$

— 패트릭 칼돈
소스

좋은 대답 패트릭. 돔은 직관적이고 좋은 주장이지만 수학이 아닙니다.

— Michael Chernick

@Patrick Caldon : 훌륭한 답변 또한 Michael Chernick의 칭찬입니다. 내가 그의 대답에서 말했듯이, 나는 또한 "직관적 인 수학적"설명 방법을 좋아합니다!

— Lucas Reis

+1 : Winnie the Pooh는 언급하지 않았지만, 아주 훌륭한 예입니다.

— Wayne

X_{t} = a X_{t - 1} + e_{t}

$X_t= aX_{t-1} + e_t$

e_{t}

$e_t$

X

$X$

X_{t} - a X_{t - 1} = e_{t} .

$X_t-aX_{t-1} = e_t.$

$BX_t = X_{t-1}$ $X_t-aBX_t =e_t$

(1 - a B) X_{t} = e_{t} .

$(1-aB)X_t = e_t.$

1 - a x

$1-ax$

x = 1 / a

$x=1/a$

| a | < 1

$|a|\lt 1$

A R (1)

$AR(1)$

| a | > 1

$|a|\gt 1$

A R (1)

$AR(1)$

a = 1

$a=1$

x = 1 / 1 = 1

$x=1/1=1$

A R (1)

$AR(1)$ (선형 특성 다항식으로 인해) 모델은 가장 간단하게 설명합니다.

— 마이클 체 르닉
소스

a \leq - 1

$a \le -1$

1

$1$

아마도 이것은 직관에 더 초점을 맞출 수 있었지만, 그것이 공감대를 자랑스럽게 생각하지는 않습니다. 내 관점에서 볼 때, 그것은 실제로 단위 루트에 대한 매우 명확하고 간결한 진술입니다.

— gung

빌이 아니라고 생각합니다. abolute 값이 a> 1이면 근은 단위 원 밖에 있습니다. 따라서 a <-1은 a> 1만큼 정지하지 않습니다. 단위 원 내부에서 모델은 정지 상태입니다. 외부는 정지하지 않습니다. 단위 원은 경계입니다. 내 대답에 나는 절대 값 기호를 넣어야한다. 내 설명이 당신이 찾을 수있는 것처럼 간단하지 않습니까? 누군가가 실제로 그것을 downvoted!

— Michael Chernick

@MichaelChernick : 모든 경우에 수학이없는 직관적 인 대답이 가능한지, 그리고 당신과 같은 "직관적 인 수학"대답도 정말 멋진 지 모르겠습니다! 내 생각에 수학 논증을 피하려고 노력하는 것은 통계적 개념을 더 잘 이해하는 것뿐만 아니라 수학 논증을 더 잘 이해하는 강력한 도구입니다! ;)

— Lucas Reis

Michael, @Lucas 는 OP입니다. :-)

— 추기경