X와 XY의 상관 관계

11

두 개의 독립적 인 랜덤 변수 X와 Y가있는 경우 X와 곱 XY의 상관 관계는 무엇입니까? 이것이 알려지지 않은 경우, X와 Y가 특정 경우에 발생하는 일이 제로 평균으로 정상이라는 것을 아는 데 관심이 있습니다.

correlation

— 로베르토
소스

4

이 질문의 동기는 무엇입니까? 우리가 여기서 다른 것을 다루는 것이 최선인지 궁금합니다. 어떤 이유로 XY 변수를 생성 한 연구를 수행하고 있습니까?

— gung-Monica Monica 복원

13

해결책

유효한 솔루션은 가능한 경우 변수 와 의 개별 속성 측면에서 상관 관계를 표현하는 솔루션이 될 것입니다 . 상관 관계를 계산하기 위해서는 와 의 모노 미널 공분산을 계산해야합니다 . 한 번에이 작업을 수행하는 것이 경제적입니다. 간단히 관찰 $X$ $Y$ $X$ $Y$

경우 및 독립적이며, 및 힘이고, 다음 및 무관; $X$ $Y$ $i$ $j$ $X^i$ $Y^j$
독립 변수의 곱에 대한 기대는 기대의 곱입니다.

이것은 와 의 순간에 대한 공식을 제공 합니다. $X$ $Y$

그것이 전부입니다.

세부

순간에 대해 등을 쓰십시오 . 따라서 계산이 의미 있고 유한 한 숫자를 생성하는 모든 숫자 대해, $\mu_i(X) = E(X^i)$ $i,j,k,l$

\begin{aligned} Cov (X^{i} Y^{j}, X^{k} Y^{l}) & = E (X^{i} Y^{j} X^{k} Y^{l}) - E (X^{i} Y^{j}) E (X^{k} Y^{l}) \\ = μ_{i + k} (X) μ_{j + l} (Y) - μ_{i} (X) μ_{k} (X) μ_{j} (Y) μ_{l} (Y) . \end{aligned}

$\eqalign{ \operatorname{Cov}\left(X^iY^j, X^kY^l\right) &= E\left(X^iY^j X^kY^l\right) - E\left(X^iY^j\right) E\left(X^kY^l\right) \\&= \mu_{i+k}(X)\mu_{j+l}(Y) - \mu_i(X)\mu_k(X)\mu_j(Y)\mu_l(Y).}$

임의 변수의 분산은 자체와의 공분산이므로 분산에 대한 특별한 계산을 수행 할 필요가 없습니다.

이제 소수의 독립적 인 랜덤 변수의 모노 미널, 거듭 제곱, 모멘트와 관련된 모멘트를 계산하는 방법이 분명해졌습니다. 응용 프로그램으로이 결과를 공분산을 분산의 제곱근으로 나눈 상관 관계 정의에 적용합니다.

\begin{aligned} Cor (X, X Y) & = \frac{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{1})}{\sqrt{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{0}) Cov (X^{1} Y^{1}, X^{1} Y^{1})}} \\ = \frac{μ_{2} (X) μ_{1} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{1} (Y)}{\sqrt{(μ_{2} (X) - μ_{1} (X)^{2}) (μ_{2} (X) μ_{2} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{2} (Y)^{2})}} . \end{aligned}

$\eqalign{\operatorname{Cor}(X,XY) &= \frac{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^1)}{\sqrt{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^0)\ \operatorname{Cov}(X^1Y^1, X^1Y^1)}} \\ &=\frac{\mu_2(X)\mu_1(Y) - \mu_1(X)^2\mu_1(Y)}{\sqrt{\left(\mu_2(X)-\mu_1(X)^2\right)\left(\mu_2(X)\mu_2(Y)-\mu_1(X)^2\mu_2(Y)^2\right)}} . }$

이것을 원래 변수의 기대, 분산 및 공분산과 관련시키려는 경우 선택할 수있는 다양한 대수 단순화가 있지만 여기에서 수행하면 더 이상 통찰력을 얻을 수 없습니다.

— 우버
소스

14

총 공분산과의 독립의 법칙 사용하여 와 , 총 분산 법칙을 사용하고 다시 독립성 인 참고 $X$ $Y$

\begin{aligned} Cov (X, X Y) & = E Cov (X, X Y | Y) + Cov (E X | Y, E X Y | Y) \\ = E (Y Cov (X, X)) + Cov (E X, Y E X) \\ = E (Y Var X) + Cov (E X, Y E X) \\ = E Y Var X . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Cov}(X,XY) &=E\mbox{Cov}(X,XY|Y)+\mbox{Cov}(EX|Y,EXY|Y) \\&=E(Y\mbox{Cov}(X,X)) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=E(Y\mbox{Var}X) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=EY\mbox{Var}X. \end{align}$

\begin{aligned} Var (X Y) & = E Var (X Y | Y) + Var E (X Y | Y) \\ = E (Y^{2} (Var X | Y)) + Var (Y (E X | Y)) \\ = E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X) \\ = E (Y^{2}) Var X + (E X)^{2} Var Y \\ = Var X Var Y + (E Y)^{2} Var X + (E X)^{2} Var Y . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Var}(XY) &= E\mbox{Var}(XY|Y) + \mbox{Var} E(XY|Y) \\&= E(Y^2 (\mbox{Var}X|Y)) + \mbox{Var} (Y (EX|Y)) \\&= E(Y^2 \mbox{Var}X) + \mbox{Var} (Y EX) \\&= E(Y^2) \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y \\&= \mbox{Var}X\mbox{Var}Y+(EY)^2 \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y . \end{align}$

Y

$Y$ 상기 내부 조건부 기대, 분산 또는 공분산 중 어느 하나에서 상수로 취급 될 수있다.

위의 공분산과 분산에서 상관 관계는 대수 조작 후 와 같이 두 가지 변동 계수로 잘 표현 될 수 있습니다

\begin{aligned} corr (X, X Y) & = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{Var Y}{(E Y)^{2}} (1 + \frac{(E X)^{2}}{Var X})}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{corr}(X,XY) &=\frac1{\sqrt{ 1 + \frac{\text{Var}Y}{(EY)^2}\left(1 + \frac{(EX)^2}{\text{Var}X}\right) }}. \end{align}$

시뮬레이션으로이 결과를 확인하십시오.

> n <- 1e+6
> x <- rexp(n,2)-2
> y <- rnorm(n,mean=5)
> cv2 <- function(x) var(x)/mean(x)^2
> 1/sqrt(1+cv2(y)*(1+1/cv2(x)))
[1] 0.844882
> cor(x,x*y)
[1] 0.8445373

— 자렐 투 프토
소스

멋지지만, 나는 몇 가지를 친절하게 지적하고 싶습니다. 1. 두 번째 방정식 세트의 세 번째 줄에 와 같이 괄호가 있어야 ? 2. 질문을 한 사람이 다른 단계 뒤에있는 추론을 따르고 있습니까? 예를 들어 는 가 주어진 것이기 때문 입니다. 몇 가지 단계에 대한 최소한의 설명을 제안합니다.

E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X)

$E(Y^2\text{Var}X)+\text{Var}(YEX)$

E Cov (X, X Y | Y) = E Y Cov (X, X)

$E\text{Cov}(X, XY|Y)=EY\text{Cov}(X,X)$

Y

$Y$

— Antoni Parellada

1

네, 빠진 괄호와 설명을 추가했습니다. @whuber의 대답을 선호한다는 것을 인정해야합니다.

— Jarle Tufto

5

X 및 Y는 다음 제로 수단과 랜덤 변수 인 특정 경우에서 인해 입니다. 따라서 $\rho(XY,X) = 0$ $\mathbb{E}(X^2Y) = \mathbb{E}[\mathbb{E}[ X^2Y | X]] = \mathbb{E}[X^2\mathbb{E}[Y|X]] = 0$ $cov(XY,X) = \mathbb{E}(X^2Y) - \mathbb{E}(XY).\mathbb{E}(X) = 0$

— 클레도
소스

-2

X와 XY의 선형 상관 관계는

Corr (X, XY) = Cov (X, XY) / sqrt (var (X) * var (XY))

Cov (X, XY) = 합산 ((X- 평균 (X)) (XY- 평균 (XY)) / n

n-표본 크기; var (X) = X의 분산; var (XY) = XY의 분산

— 샘 글 라디오
소스

1

문제는 데이터가 아니라 랜덤 변수 에 관한 것입니다.

— whuber

2 개의 랜덤 변수가 서로 연관되어 있는지 여부를 어떻게 알 수 있습니까? 데이터를 통해서만 가능합니다. 틀 렸으면 말해줘. 사과.

— Sam Gladio

랜덤 변수의 수학적 속성을 사용하여 이론적으로 상관 관계를 계산합니다. 그것은 교량 건설 및 시험과 비교하여 뉴턴 역학의 원리를 사용하여 교량 설계의 강도를 계산하는 것과 매우 동일합니다. 이론과 데이터에 대한 뚜렷한 역할이 있으며 서로 혼동해서는 안됩니다. .

— whuber