이진 데이터와 관련된 분산 및 분할 변화

물류 선형 혼합 효과 모델 (무작위 가로 채기)을 사용하여 175 개 학교에서 30 만 명의 학생에 대한 데이터를 분석하고 있습니다. 각 학생은 정확히 한 번만 발생하며 데이터는 6 년에 걸쳐 있습니다.

1. 지속적인 결과를 위해 VPC / ICC와 비슷한 방식으로 학교와 학생 수준의 차이를 어떻게 분할합니까? 나는 A와 B가 나에게 흥미로운 것처럼 보이는 4 가지 방법을 제안하는 이 기사를 보았지만 , 이들 중 하나를 사용할 때 어떤 이점 / 단점이 있는지, 물론 다른 방법이 있다면 알고 싶다 그것.

2. 매년 학교 수준의 잔차를 어떻게 비교할 수 있습니까 (또는 다른 기간)? 지금까지 데이터를 연도별로 나누고 매년 데이터를 기준으로 모델을 실행 하여이 작업을 수행했지만 다음과 같은 이유로 결함이 있다고 생각합니다. i) 연도 별로 나눌 이유가 분명하지 않습니다 . 그리고 ii) 매년 고정 효과 추정치가 다르기 때문에 해마다 무작위 효과를 비교하는 것은 의미가 없을 수 있습니다 (이것은 누군가가 이것을 더 공식적으로 설명 할 수 있다면 정확할 것입니다).

참고 : whuber 및 Macro와의 메타 토론 후에이 질문을 다시 썼습니다.

하자 $y_{ij}, {\boldsymbol x}_{ij}$ 학생 나타내는 응답과 예측 벡터 (각각) $i$ 학교에서 $j$ .

(1) 이진 데이터의 경우 연속 데이터에 대한 것과 유사한 분산 분해를 수행하는 표준 방법은 저자가 링크에서 방법 D (아래 다른 방법에 대해 언급 할 것) 라고 부르는 것입니다. 선형 모델에 의해 지배되는 기본 연속 변수에서 발생하고 해당 잠재 척도의 분산을 분해합니다. 그 이유는 물류 모델 (및 기타 GLM)이 자연스럽게 이런 방식으로 발생하기 때문입니다.

이것을 보려면 $y^{\star}_{ij}$ 가 선형 혼합 모형에 의해 지배되도록 정의하십시오 .

$$y^{\star}_{ij} = \alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_j + \varepsilon_{ij}$$

여기서 는 회귀 계수이고, η j ∼ N ( 0 , σ 2 ) 는 학교 수준의 랜덤 효과이고 ε i j 는 잔차 분산 항이며 표준 물류 분포를 갖습니다 . 이제하자$\alpha,\beta$$\eta_j \sim N(0,\sigma^2)$$\varepsilon_{ij}$

$$y_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if} \ \ \ y^{\star}_{ij}≥0\\ \\ 0 &\text{if} \ \ \ y^{\star}_{ij}<0 \end{cases}$$

이제 우리가 가지고있는 로지스틱 CDF를 사용하여 로하자.$p_{ij} = P(y_{ij} = 1|{\boldsymbol x}_{ij},\eta_j)$

$$p_{ij} = 1-P(y^{\star}_{ij}<0|{\boldsymbol x}_{ij},\eta_j) = \frac{ \exp \{-(\alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_j) \} }{1+ \exp \{-(\alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_j) \}}$$

이제 양쪽 의 로짓 변환 을 수행하면

$$\log \left( \frac{ p_{ij} }{1 - p_{ij}} \right) = \alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_j$$

이것은 로지스틱 혼합 효과 모델입니다. 따라서 로지스틱 모델은 위에서 지정한 잠재 변수 모델과 같습니다. 중요한 참고 사항 :

• 의 스케일은 식별되지 않습니다. 스케일을 축소해야하지만 상수 s 인 경우 단순히 위의 값을$\varepsilon_{ij}$$s$

$$\frac{ \exp \{-(\alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_j)/s \} }{1+ \exp \{-(\alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_j)/s \}}$$

$\ \ \ \ \ \ \ $따라서 계수와 랜덤 효과는 해당 양만큼 간단하게 확장됩니다 . 그래서, S = 1 을 의미하는 데 사용된다 V R ( ε I , J ) = π 2 / 3 .
$\ \ \ \ \ \ $$s=1$${\rm var}(\varepsilon_{ij}) = \pi^2/3$

이 모델을 사용하고 수량을

$$\frac{ \hat{\sigma}^{2}_{\eta} }{\hat{\sigma}^{2}_{\eta} + \pi^2/3 }$$

기본 잠재 변수 의 클래스 내 상관 관계를 추정합니다 . 또 다른 중요한 참고 사항 :

• 경우 로 지정하는 대신, 표준 정규 분포를 갖는, 당신은 혼합 효과가있는 모델을 프로 빗 . 이 경우 σ 2 $\varepsilon_{ij}$ $$\frac{ \hat{\sigma}^{2}_{\eta} }{\hat{\sigma}^{2}_{\eta} + 1 }$$

링크 한 논문에 언급 된 다른 방법들과 관련하여 :

• ${\boldsymbol x}_{ij}$

• (B) 시뮬레이션 방법은 통계 학자에게 직관적으로 호소력을 발휘합니다. 원래의 데이터 규모에서 추정 분산 분해를 제공하지만, 대상에 따라 (i) "방법"에서이를 설명하기가 복잡 할 수 있습니다. 섹션 및 (ii) "보다 표준적인"것을 찾고있는 검토자를 끌 수 있습니다.

• (C) 데이터가 연속적 인 척하는 것은 아마도 대부분의 확률이 0 또는 1에 가깝지 않으면 끔찍하게 수행되지는 않지만 좋은 생각은 아니지만 아마도 그렇게하면 리뷰어에게 거의 확실하게 적신호를 올릴 것입니다 멀리있어

이제 마지막으로

(2) 고정 효과가 수년에 걸쳐 매우 다른 경우, 잠재적 효과가 다른 척도이기 때문에 수년에 걸친 임의 효과 분산을 비교하는 것이 어려울 수 있다고 생각하는 것이 옳습니다 (이는 비 식별성과 관련이 있습니다) 위에서 언급 한 스케일링 문제).

시간이 지남에 따라 고정 효과를 유지하려면 (단, 시간이 지남에 따라 효과가 많이 변하는 것을보고 싶지 않다면) 랜덤 효과 분산의 변화를 살펴보면 임의의 효과를 사용하여이 효과를 탐색 할 수 있습니다 슬로프 및 더미 변수. 예를 들어, 여러 해에 ICC가 다른지 확인하고 싶다면$I_k = 1$ 연도에 관찰 한 경우 $k$ 그렇지 않으면 0이고 선형 예측 변수를 다음과 같이 모델링합니다.

$$\alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_{1j} I_1 + \eta_{2j} I_2 + \eta_{3j} I_3 + \eta_{4j} I_4 + \eta_{5j} I_5+ \eta_{6j} I_6$$

this will give you a different ICCs each year but the same fixed effects. It may be tempting to just use a random slope in time, making your linear predictor

$$\alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_{1} + \eta_{2} t$$

but I don't recommend this, since that will only allow your associations to increase over time, not decrease.