Pillai 추적 및 Hotelling-Lawley 추적에 대한 일반화가 있습니까?

다변량 다중 회귀 (벡터 회귀 및 회귀) 설정에서 일반 가설 (Wilk 's Lambda, Pillai-Bartlett, Hotelling-Lawley 및 Roy 's Largest Root)에 대한 네 가지 주요 테스트는 모두 행렬 의 고유 값에 의존합니다 (여기서 와 는 '설명 된'및 '전체'변형 행렬 임) $H E^{-1}$ $H$ $E$

Pillai 및 Hotelling-Lawley 통계는 모두 로 표시 될 수 있음을 알았 각각 입니다. 나는 와 의 모집단 유사체에 대해 정의 된이 추적의 분포가 경우 에 관심 이있는 응용 프로그램을 찾고 있습니다. (내 작업에서 모듈로 오류.) general 대한 표본 통계의 통일이 있거나 4 가지 고전 테스트 중 2 개 이상 을 포괄 하는 다른 일반화 가 있는지 궁금합니다 . 경우 또는 과 같지 않다는 것을 알고 있습니다.

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$

κ

$\kappa$

0

$0$

1

$1$ 분자는 더 이상 null 아래의 카이 제곱처럼 보이지 않으므로 중앙 F 근사가 의심스러워 보일 수 있습니다.

나는 널 (null) ( 즉 , 실제 회귀 계수 행렬이 모두 0 임)과 대안 아래에서 의 분포에 대한 연구가 있기를 바라고 있습니다. 나는 특히 경우 에 관심이 있지만 일반적인 사례 에 대한 연구가 있다면 물론 사용할 수 있습니다. $\psi_{\kappa}$ $\kappa = 2$ $\kappa$

— 초라한 요리사
소스

잠깐, 는 'E'xplained 변형이고 는'T'otal 변형입니까? 내 니모닉을 확인하는 중입니다.

H

$H$

E

$E$

— 추기경

@ cardinal, 맞습니다. 경우 상관 계수의 다변량 최소 제곱 적합하다, 우리가 및 Michael Friendly의 (문자 그대로) 큰 그림 개요는 나에게 매우 유용했습니다. psych.yorku.ca/lab/psy6140/lectures/…

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

— shabbychef

감사! 내가 볼게 (그런데, 나는 '설명 된'에 대한 'h'와 '전체'에 대한 'e')의 문자 선택에 기초하여 단지 놀리는 것입니다.) 흥미로운 질문은; 나에게서 (+1).

— 추기경

@ 추기경 나는 농담을 알기 위해 카페인을 충분히 섭취하지 못했습니다. 그렇습니다. 니모닉은 좋지 않지만 와 (그리고 )의 선택은 다소 표준입니다.

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

— shabbychef 2016 년

농담은 카페인이 많이 필요했을 정도로 충분히 나빴습니다.

— 추기경

생산적인 일반화는

이러한 테스트 중 일부는 규범 이므로 Hotelling-Lawley의 추적은 규범, 및 Roy의 가장 큰 근본은 norm, . ${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
이러한 테스트 중 일부는 행렬 의 표준 일 수 있습니다. 예를 들어, Roy의 가장 큰 근은 스펙트럼 또는 , norm . $HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
테스트의 일부가 될 수도있다 일반화 엔트로피 형태 예, 호텔 링 - Lawley의 추적 GE (1), 로이 최대 루트 GE (이다 ) 및 윌크스 ' 에 GE (-1)이다 , 각각 모노톤 변환까지. $\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

다른 규범 또는 다른 일반화 된 엔트로피 매개 변수가 입력되면 의미있는 다른 통계에 도달 할 수 있습니다. 그래도 그중 하나가 생성 의문입니다 . $\psi_2$

— StasK
소스

나는 우리가 생각 , 의 고유 값 . 그러나 그것은 어느 곳으로나 나를 데려 가지 않는 것 같습니다. 나는 고유 값의 합의 분포에 대해 충분히 알지 못한다고 생각합니다 ...

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$

— shabbychef