두꺼운 꼬리 분산 프로세스가 크게 개선되었는지 확인

프로세스가 변경에 의해 개선되었는지 확인하기 위해 변경 전후 프로세스의 처리 시간을 관찰합니다. 처리 시간이 단축되면 프로세스가 개선되었습니다. 처리 시간의 분포는 굵은 꼬리이므로 평균을 기준으로 비교하는 것은 합리적이지 않습니다. 대신 변경 후 더 낮은 처리 시간을 관찰 할 확률이 50 %를 크게 초과하는지 알고 싶습니다.

하자 변경 후의 처리 시간에 대한 랜덤 변수 일 Y 하나 전의. 경우 P ( X < Y는 ) 훨씬 이상 0.5 그때 프로세스 개선 말할 것이다.$X$$Y$$P(X < Y)$$0.5$

이제이 관측 X I를 들 X 및 m의 관찰 예 J 의 Y . 관측 확률 P ( X < Y는 ) 이고 , P = $n$$x_i$$X$$m$$y_j$$Y$$P(X < Y)$.$\hat p = \frac{1}{n m} \sum_i \sum_j 1_{x_i < y_j}$

관측치 x i 와 y j가 주어지면 에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?$P(X < Y)$$x_i$$y_j$

$\hat{p}$$U$$mn$$W$$W = U + {n(n+1)\over{2}}$$n$$y$$U$$p$

$m$$x$$N$$m+n$

$W^* = \frac{W-\frac{m(N+1)}{2}}{\sqrt{\frac{mn(N+1)}{12}}} \sim \text{N}(0,1)$

출처 : Hollander and Wolfe , 비모수 통계 방법, 대략 p. 117, 그러나 아마도 대부분의 비모수 통계 책이 당신을 데려 갈 것입니다.

$\theta=P(X<Y)$

$X$$Y$

정의에 의하면

$F_X$$X$$f_Y$$Y$$X$$Y$$F_X$$f_Y$$\theta$

이것은 가우스 커널을 사용하여 다음 R 코드에서 구현됩니다.

# Optimal bandwidth
h = function(x){
n = length(x)
return((4*sqrt(var(x))^5/(3*n))^(1/5))
}

# Kernel estimators of the density and the distribution
kg = function(x,data){
hb = h(data)
k = r = length(x)
for(i in 1:k) r[i] = mean(dnorm((x[i]-data)/hb))/hb
return(r )
} 

KG = function(x,data){
hb = h(data)
k = r = length(x)
for(i in 1:k) r[i] = mean(pnorm((x[i]-data)/hb))
return(r )
} 

# Baklizi and Eidous (2006) estimator
nonpest = function(dat1B,dat2B){
return( as.numeric(integrate(function(x) KG(x,dat1B)*kg(x,dat2B),-Inf,Inf)$value))  
}

# Example when X and Y are Cauchy
datx = rcauchy(100,0,1)
daty =  rcauchy(100,0,1)

nonpest(datx,daty)

$\theta$

# bootstrap
B=1000
p = rep(0,B)

for(j in 1:B){
dat1 =  sample(datx,length(datx),replace=T)
dat2 =  sample(daty,length(daty),replace=T)
p[j] = nonpest(dat1,dat2)
}

# histogram of the bootstrap sample
hist(p)

# A confidence interval (quantile type)
c(quantile(p,0.025),quantile(p,0.975))

다른 종류 의 부트 스트랩 간격도 고려 될 수 있습니다.

$X_i-Y_i$$P(X_i-Y_i<0) = p$$I\{X_i-Y_i<0\}$$i=1,2,..,n$$X$$X_i < Y_i$$n$ $p=P(X_i-Y_i<0)$$X/n$