1 중앙값이 다른 중앙값보다 낮다는 사실이 왜 그룹 1의 대부분이 그룹 2의 대부분보다 적다는 것을 의미합니까?

아래 박스 플롯은 "대부분의 남성이 대부분의 여성보다 빠르다"(이 데이터 세트에서)로 해석 될 수 있다고 믿었습니다. 주로 남성의 평균 시간이 여성의 시간보다 낮았 기 때문입니다. 그러나 R과 통계 퀴즈 에 관한 EdX 코스는 그것이 틀렸다고 나에게 말했다. 내 직감이 왜 틀린지 이해하도록 도와주세요.

질문은 다음과 같습니다.

2002 년 뉴욕시 마라톤에서 나온 임의의 마무리 장치 샘플을 고려해 봅시다.이 데이터 세트는 UsingR 패키지에서 찾을 수 있습니다. 라이브러리를로드 한 다음 nym.2002 데이터 세트를로드하십시오.

library(dplyr)
data(nym.2002, package="UsingR")

박스 플롯과 히스토그램을 사용하여 남성과 여성의 마무리 시간을 비교하십시오. 다음 중 차이점을 가장 잘 설명하는 것은 무엇입니까?

1. 남성과 여성의 분포는 동일합니다.
2. 대부분의 남성은 대부분의 여성보다 빠릅니다.
3. 수컷과 암컷은 오른쪽으로 치우친 분포를 가지고 있으며, 20 분은 왼쪽으로 이동했습니다.
4. 두 분포는 일반적으로 평균 약 30 분의 차이로 분배됩니다.

Quantile, histograms 및 boxplots와 같이 남성과 여성을위한 NYC 마라톤 시간은 다음과 같습니다.

# Men's time quantile
      0%      25%      50%      75%     100% 
147.3333 226.1333 256.0167 290.6375 508.0833

# Women's time quantile
      0%      25%      50%      75%     100% 
175.5333 250.8208 277.7250 309.4625 566.7833

나는 당신이 틀린 것으로 표시된 이유가 당신이 객관식 질문에 대한 대답이 틀린 것이 아니라 오히려 옵션 3 "남자와 여자가 ​​전자와 비슷한 오른쪽으로 치우친 분포를 가지고 있다고 생각합니다. 20 분은 왼쪽으로 이동했습니다." 제공된 정보를 기반으로 정보를 제공하므로 더 나은 선택이었습니다.

내가 찾을 수있는 가장 작은 반대 예는 다음과 같습니다.

• A ( [1, 4, 10])와 B ( [0, 6, 9])의 평균은 동일 함 ( 5)

• B의 중간 값 ( 6)이 A ( 4) 보다 큽니다.

• 임의의 A 요소가 임의의 B 요소 보다 클 확률은 5/9 입니다.

다음은 4 가지 요소가있는 또 다른 예입니다.

"대부분의 남성이 대부분의 여성보다 빠르다"는 잠재적으로 다소 모호하지만, 일반적으로 우리가 임의의 parirings를 보면 대부분의 경우 남자가 더 빠를 것입니다. $P(M_i<F_j)>\frac12$ 무작위로 $i,j$ (어디 $M_i$ '시간입니다 $i$-남성 남성 등).

물론 그 구절에 대한 다른 해석도 가능합니다 (결국 모호한 것임). 그리고 다른 가능성들 중 일부는 당신의 추론과 일치 할 수 있습니다.

[우리는 또한 표본 또는 집단에 대해 이야기하고 있는지에 대한 문제가 있습니다 ... "대부분의 남성 [...] 대부분의 여성"은 인구 성명서 (잠재적 인 시간의 인구에 관한 것)로 보이지만 우리는 단지 시간을 관찰했습니다 우리는 표본으로 취급하고있는 것 같아서 주장을 얼마나 광범위하게하는지주의해야합니다.]

참고 $P(M_i<F_j)>\frac12$ 에 의해 암시되지 않습니다 $\widetilde{M}<\widetilde{F}$. 그들은 반대 방향으로 갈 수 있습니다.

[ 남자가 여자보다 빠른 임의의 MF 쌍의 비율이 1/2 이상이라고 생각하는 것은 틀렸다고 말하는 것이 아닙니다 . 거의 확실합니다. 나는 중간 값을 비교하여 말할 수 없다고 말하고 있습니다. 다른 샘플의 중앙값 위나 아래에있는 각 샘플의 비율을 보면 알 수 없습니다. 다른 비교를해야합니다.]

즉, 중간 남자는 중간 여자보다 빠를 수 있지만, 임의의 남자가 임의의 여자보다 빠를 가능성이있는 시간의 샘플 (또는 그 문제에 대한 연속적인 분포)을 가질 수 있습니다. 적은 보다는$\frac12$. 큰 샘플에서 두 개의 반대 표시는 각각 중요 할 수 있습니다.

예:

데이터 세트 A :

 1.58  2.10 16.64 17.34 18.74 19.90  1.53  2.78 16.48 17.53 18.57 19.05
 1.64  2.01 16.79 17.10 18.14 19.70  1.25  2.73 16.19 17.76 18.82 19.08
 1.42  2.56 16.73 17.01 18.86 19.98

데이터 세트 B :

 3.35  4.62  5.03 20.97 21.25 22.92  3.12  4.83  5.29 20.82 21.64 22.06
 3.39  4.67  5.34 20.52 21.10 22.29  3.38  4.96  5.70 20.45 21.67 22.89
 3.44  4.13  6.00 20.85 21.82 22.05

데이터 세트 C :

 6.63  7.92  8.15  9.97 23.34 24.70  6.40  7.54  8.24  9.37 23.33 24.26
 6.18  7.74  8.63  9.62 23.07 24.80  6.54  7.37  8.37  9.09 23.22 24.16
 6.57  7.58  8.81  9.08 23.43 24.45

(데이터는 여기 에 있지만 다른 목적으로 사용됩니다. 내 기억에 나는 이것을 직접 생성했습니다)

A <B의 비율은 2/3이고, A <C의 비율은 5/9이며, B <C의 비율은 2/3입니다. A vs B와 B vs C는 모두 5 % 수준에서 유의미하지만 충분한 샘플 사본을 추가하여 모든 수준의 중요성을 달성 할 수 있습니다. 우리는 샘플을 복제하지만 충분히 작은 지터 (점들 사이의 가장 작은 간격보다 충분히 작은)를 추가하여 동점을 피할 수도 있습니다.

중앙값 (A)> 중앙값 (B)> 중앙값 (C)

다시 우리는 표본을 반복함으로써 중앙값을 임의의 유의 수준과 비교하여 유의성을 달성 할 수 있었다.

그것을 현재의 문제와 관련시키기 위해, A는 "여성의 시간"이고 B는 "남자의 시간"이라고 상상해보십시오. 그런 다음 남성의 평균 시간이 더 빠르지 만 무작위로 선택된 남자는 무작위로 선택된 여자보다 2/3의 시간이 느려집니다.

샘플 A와 C에서 큐를 가져와 다음과 같이 더 큰 데이터 세트 (R)를 생성 할 수 있습니다.

n <- 300
F <- c(runif(n/3,0,5),runif(n-n/3,15,20))
M <- c(runif(n-n/3,7.5,12.5),runif(n/3,22.5,27.5))

F의 중앙값은 약 16.25이고 M의 중앙값은 약 11.25이지만 F <M 인 경우의 비율은 5/9입니다.

[n / 3을 이항 변량으로 대체하고 $n$ 과 $\frac13$ 우리는 F 분포의 중앙값이 16.25 인 반면 M 분포의 중앙값이 11.25 인 모집단에서 표본을 추출 할 것입니다. 한편이 모집단에서 F <M 일 확률은 다시 5/9 일 것입니다.]

또한 $P(F<\text{med}(M))=\frac23$ 과 $P(M>\text{med}(F))=\frac23$ 동안 $\text{med}(M)<\text{med}(F)$ (실제로).

다음 그림은 이 블로그 게시물 에서 가져 왔으며 , 이러한 아이디어 의 중요한 실제 적용 을 보여줍니다 .

표준화는 두 분포를 비교할 수있는 강력한 장치를 제공합니다. 다음 3 개의 수치는 영국 국립 아동 측정 프로그램 (NCMP)의 130 개월 된 소년과 소녀의 키를 비교합니다. (이 데이터 세트의 모달 연령이었습니다. 단일 연령 집단 내에서 가장 많은 데이터와 가장 부드러운 플롯을 얻기 위해 간단히 선택했습니다.)

그림 1 : 영국의 국가 아동 측정 프로그램 (NCMP)에서 130 개월 된 소년과 소녀의 신장

그림 2 : 130 개월 이상 된 남녀의 신장 백분위 수. 출처 : 영어 NCMP

그림 3 : 같은 연령의 소년에 대한 130 개월 된 소녀의 신장 분포.

이 수치의 마지막에서, 키 비교는 소년의 키에 따라 표준화 되었습니다 . 따라서 그림 3에서 회색 점선을 따라 읽으면 다음과 같은 문장을 작성할 수 있습니다.

• 소년의 평균 (즉, 백분위 수) 키는 여자의 경우 약 45 번째 백분위 수입니다. 따라서 소녀의 100 % – 45 % = 55 %가 중간 소년보다 키가 컸습니다.
• 소녀의 최고 사 분위 높이 (75 번째 백분위 수)는 소년의 최고 사 분위수 (80 번째 백분위 수)에 도달합니다. 따라서 130 mos의 어린이들 중에서 4 명 중 3 명보다 큰 소녀는 5 명 중 4 명보다 큽니다.

이 음모에서 가능한 혼란의 한 지점은 언급 할 가치가 있습니다. 남학생의 45 ° 선이 여아의 자홍색 곡선보다 줄거리에서 '높은'이지만,이 관찰은이 나이 (6 학년)에서 여학생이 남학생보다 키가 크다는 잘 알려진 사실과 일치합니다. . 이 키가 자홍색 곡선이 파란색 선을 기준으로 오른쪽 으로 이동한다는 사실에 반영됩니다 .

이 방법은 매우 일반적 입니다. 이러한 비교에서 표준화 한 그룹 중 하나가 45 ° 라인이됩니다. 다른 그룹은 일반적 으로 좌측 하단에서 우측 상단으로 그려진 임의의 모노톤 증가 곡선 일 수있다. 기본 분포가 연속적이라면 (밀도에 점 질량이 없음) 비교 된 곡선은 연속적입니다. 기본 밀도가 동일한 지지를 공유하는 경우 곡선은$(0,0)$ 에 $(1,1)$.

그림 3의 자홍색 곡선을 그려서 (a) 중간 값 사이의 가정 된 관계와 (b) @Glen_b의 약간 이해하기 어려운 관계를 동시에 달성 할 수 있는지에 대한 질문으로 원래의 질문을 기하학적 용어로 다시 변환 할 수 있습니다. 그의 대답을 명확하게 설명했다. 분포 불연속 (밀도 밀도)이 '병리학 적'사례를 제공 할 수 있는지 궁금합니다. 나는 그러한 병리학 적 사례가 '규칙을 입증하는 예외'가 될 것이라고 추측합니다.

퀴즈 질문을 분석 할 수있는보다 공식적인 언어로 가장 간단하고 논리적으로 번역 한 경우 (위에서 어린이의 키 설정 사용) 개인에게 말할 수 있습니다. $x$ 다음과 같은 경우 TMB 특성이 있습니다. $x$인 t ALLER보다 m 의 OST ㄴ oys. 그런 다음 퀴즈 질문은 대부분의 소녀들이 TMB 속성을 가지고 있는지 간단히 물었습니다 . 'most'를 반 이상 을 의미 하는 것으로 정의 하면 TMB 속성이 있다는 것은 중간 높이 소년보다 키가 크다는 것을 의미합니다. 대부분의 소녀들에게 TMB 재산이 있는지 묻는 것은 중간 소녀 에게이 재산이 있는지 묻는 것 입니다. 이 계정에서 퀴즈 질문에 대한 대답은 yes 입니다.

다른 한편으로, '가장 많이'의 실제 의도가 "> 50 %"라면,보다 정확한 문구 "대다수"가 사용될 것으로 예상 할 수있다. 누군가가 아마 "아마도"일어날 것이라고 말해 주면 60 % 이상의 주관적 확률이 암시 될 것이라고 생각할 것입니다. 마찬가지로, 나에게 "가장 많이"는 70-80 % 정도의 것을 의미합니다. 분명히, 위의 도표에서 '가장 많이'가 52.5 %보다 더 엄격한 기준으로 간주된다면, "대부분의 소녀들은 [소녀들은 재산이 가장 많다"고 말할 수 없습니다. 퀴즈 질문의 이론적 근거 중 일부가 단어 개념과 관련된 단어의 시험을 자극하는 것이 었는지 궁금합니다. (이것이 모두 바보라고 생각하면 다음 그래프를 고려하십시오., 사람들이 어떻게 다른 확률 론적 단어와 문구를 해석하는 경향이 있는지를 보여줍니다.) 아마도 실제 분포에 많은 변형이 존재하고 단일 통계 (중간, 평균, 무엇을 가지고 있는지)를 강조하려는 의도 일 수도 있습니다. 당신)은 광범위하고 포괄적 인 진술을 거의지지하지 않을 것입니다.