랜덤 변수가 최대 일 확률을 어떻게 묶을 수 있습니까?

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ 유한 의미를 가진 $N$ 독립적 인 랜덤 변수 $X_1$ , $\ldots$ , $X_n$ 있고 $\mu_1 \leq \ldots \leq \mu_N$ 및 분산 $\sigma_1^2$ , $\ldots$ , $\sigma_N^2$ . $X_i \neq X_N$ 이 다른 모든 $X_j$ , 보다 클 확률에 분포가없는 경계를 찾고 $j \neq i$ 있습니다.

즉, 단순화를 위해 의 분포 $X_i$ 가 연속적 이라고 가정하면 ( $\P(X_i = X_j) = 0$ ) 에서 경계를 찾고

P (X_{i} = max_{j} X_{j}) .

$\P( X_i = \max_j X_j ) \enspace.$ 경우

N = 2

$N=2$ , 우리는 체비 쇼프 부등식을 사용하여 얻을 :

P (X_{1} = max_{j} X_{j}) = P (X_{1} > X_{2}) \leq \frac{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} + (μ_{1} - μ_{2})^{2}} .

$\P(X_1 = \max_j X_j) = \P(X_1 > X_2) \leq \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2} \enspace.$ 나는 몇 가지 간단한 (반드시 꽉) 일반에 대한 경계 찾고자하는

N

$N$ ,하지만 난 일반용 (심미적) 기쁘게 결과를 찾을 수 없어

N

$N$ .

변수는 iid로 가정되지 않습니다. 관련 작업에 대한 제안이나 언급은 환영합니다.

업데이트 : 가정하여 상기 $\mu_j \geq \mu_i$ . 그런 다음 위의 경계를 사용하여

P (X_{i} = max_{j} X_{j}) \leq min_{j > i} \frac{σ_{i}^{2} + σ_{j}^{2}}{σ_{i}^{2} + σ_{j}^{2} + (μ_{j} - μ_{i})^{2}} \leq \frac{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2}}{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2} + (μ_{N} - μ_{i})^{2}} .

$\P(X_i = \max_j X_j) \leq \min_{j > i} \frac{\sigma_i^2 + \sigma_j^2}{\sigma_i^2 + \sigma_j^2 + (\mu_j - \mu_i)^2} \leq \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \enspace.$ 이것은 다음을 의미합니다 :

(μ_{N} - μ_{i}) P (X_{i} = max_{j} X_{j}) \leq (μ_{N} - μ_{i}) \frac{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2}}{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2} + (μ_{N} - μ_{i})^{2}} \leq \frac{1}{2} \sqrt{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2}} .

$( \mu_N - \mu_i ) \P( X_i = \max_j X_j ) \leq (\mu_N - \mu_i) \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \leq \frac{1}{2} \sqrt{ \sigma_i^2 + \sigma_N^2 } \enspace.$ 이는

\sum_{i = 1}^{N} μ_{i} P (X_{i} = max_{j} X_{j}) \geq μ_{N} - \frac{N}{2} \sqrt{\sum_{i = 1}^{N - 1} (σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2})} .

$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \frac{N}{2} \sqrt{ \sum_{i=1}^{N-1} (\sigma_i^2 + \sigma_N^2) } \enspace.$ 나는이 경계가

에 선형 적으로 의존하지 않는 것으로 개선 될 수 있는지 궁금합니다

N

$N$ . 예를 들어, 다음을 유지합니다.

\sum_{i = 1}^{N} μ_{i} P (X_{i} = max_{j} X_{j}) \geq μ_{N} - \sqrt{\sum_{i = 1}^{N} σ_{i}^{2}} ?

$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \sqrt{ \sum_{i=1}^N \sigma_i^2 } \enspace?$ 그렇지 않다면 반례가 될 수있는 것은 무엇입니까?

probability bounds maximum

— MLS
소스

대신 더 작은 상한을 제공 하는 인덱스 를 사용하면이 범위가 더 엄격해질 수 있습니다 . 이 값은 평균과 분산에 따라 다릅니다.

j

$j$

N

$N$

@MichaelChernick : 나는 그것이 옳지 않다고 생각합니다. 예를 들어 에 세 개의 균일 분포가 있다고 가정합니다 . 그런 다음 실수하지 않으면 이고 입니다. 나는 당신이 쓰는 의미 알고하지 않습니다 ,하지만 여전히 유효하지 않음을 다음 같은 예를 보여줍니다.

[0, 1]

$[0,1]$

P (X_{1} < max_{j} X_{j}) = 2 / 3

$P( X_1 < \max_j X_j ) = 2/3$

P (X_{1} < X_{2}) = P (X_{1} < X_{3}) = 1 / 2

$P(X_1 < X_2) = P(X_1 < X_3) = 1/2$

P (X_{i} > max_{j} X_{j})

$P( X_i > \max_j X_j )$

— MLS

@Michael : 불행히도 여전히 사실이 아닙니다. 고정 에 대한 이벤트 는 독립적이지 않습니다.

A_{j} = {X_{i} > X_{j}}

$A_j = \{X_i > X_j\}$

i

$i$

— 추기경

@cardinal : 무엇보다도, 그것은 다중 무기 산적과 관련이 있습니다. 이전 보상을 기반으로 팔을 선택하면 가장 좋은 팔을 선택할 확률이 얼마나 위의 표기법에서 ), 서브 선택에 대한 예상 손실을 제한 할 수 최적의 팔?

P (X_{N} = max_{j} X_{j})

$P(X_N = \max_j X_j)$

— MLS

MathOverflow에 크로스 포스트 : mathoverflow.net/questions/99313

— 추기경

답변:

다변량 체비 쇼프의 불평등을 사용할 수 있습니다.

두 변수 경우

단일 상황, 대 경우 2016 년 11 월 4 일에 대한 Jochen의 의견과 동일한 상황에 도달합니다. $X_1$ $X_2$

1) 경우 $\mu_1 < \mu_2$ $P(X_1>X_2) \leq (\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

(그리고 나는 당신의 파생물에 대해서도 궁금합니다)

방정식 1의 유도

새로운 변수 $X_1-X_2$
평균이 0이되도록 변환
절대 가치를 가지고
체비 쇼프의 불평등 적용

\begin{matrix} P (X_{1} > X_{2}) & = P (X_{1} - X_{2} > 0) \\ = P (X_{1} - X_{2} - (μ_{1} - μ_{2}) > - (μ_{1} - μ_{2})) \\ \leq P (| X_{1} - X_{2} - (μ_{1} - μ_{2}) | > μ_{2} - μ_{1}) \\ \leq \frac{σ_{(X_{1} - X_{2} - (μ_{1} - μ_{2}))}^{2}}{(μ_{2} - μ_{1})^{2}} = \frac{σ_{X_{1}}^{2} + σ_{X_{2}}^{2}}{(μ_{2} - μ_{1})^{2}} \end{matrix}

$\begin{array} \\ P \left( X_1 > X_2 \right) &= P \left( X_1 - X_2 > 0 \right)\\ &= P\left( X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) > - (\mu_1 - \mu_2)\right) \\ &\leq P\left( \vert X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) \vert > \mu_2 - \mu_1\right) \\ &\leq \frac{\sigma_{(X_1-X_2- (\mu_1 - \mu_2))}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2} = \frac{\sigma_{X_1}^2+\sigma_{X_2}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2}\\ \end{array}$

다변량 사례

식 (1)의 부등식은 각 에 대해 여러 변환 된 변수 에 적용하여 다변량 사례로 변경할 수 있습니다 (상관 관계에 있음). $(X_n-X_i)$ $i<n$

이 문제에 대한 해결책 (다변량 및 상관)은 I. Olkin과 JW Pratt에 의해 설명되었습니다. 수학적 통계 연대기의 '다변량 체비 체프 불평등', 권 29 페이지 226-234 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706720

정리 2.3

$P(\vert y_i \vert \geq k_i \sigma_i \text{ for some } i) = P(\vert x_i \vert \geq 1 \text{ for some } i) \leq \frac{(\sqrt{u} + \sqrt{(pt-u)(p-1)})^2}{p^2}$

여기서 는 변수 개수 및 입니다. $p$ $t=\sum k_i^{-2}$ $u=\sum \rho_{ij}/(k_ik_j)$

정리 3.6은 더 엄격한 범위를 제공하지만 계산하기는 쉽지 않습니다.

편집하다

다변량 Cantelli의 부등식을 사용하여 더 날카로운 경계를 찾을 수 있습니다 . 그 불평등은 이전에 사용하고 경계 한 유형입니다. 보다 선명 합니다. $(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1-\mu_2)^2)$ $(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

전체 기사를 연구하는 데 시간이 걸리지 않았지만 어쨌든 여기에서 해결책을 찾을 수 있습니다.

AW Marshall과 I. Olkin ' 수학적 통계 자료집'의 체비 쇼프 유형의 일방적 불평등 31 pp. 488-491 https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177705913

(나중의 주 :이 불평등은 동등한 상관 관계에 대한 것이고 충분한 도움이되지 않습니다. 그러나 어쨌든 가장 날카로운 한계를 찾는 문제는보다 일반적인 다변량 Cantelli 불평등과 같습니다. 해결책이 없으면 놀랍습니다)

— Sextus Empiricus
소스

다변량 체비 쇼프 불평등에 대한 명확한 진술을 제공 할 수 있습니까?

— whuber

전체 정리를 제공하는 솔루션을 편집했습니다.

— Sextus Empiricus 2016 년

-1

나는 당신을 도울 수있는 정리를 찾았으며 당신의 필요에 맞게 조정하려고 노력할 것입니다. 당신이 가지고 있다고 가정 :

e x p (t \cdot E (\underset{1 \leq i \leq n}{m a x} X_{i}))

$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i}))$

그런 다음 Jensen의 불평등 (exp (.)가 볼록 함수이므로) :

e x p (t \cdot E (\underset{1 \leq i \leq n}{m a x} X_{i})) \leq E (e x p (t \cdot \underset{1 \leq i \leq n}{m a x} X_{i})) = E (\underset{1 \leq i \leq n}{m a x} e x p (t \cdot X_{i})) \leq \sum_{i = 1}^{n} E (e x p (t \cdot X_{i})

$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) \leq \mathbf{E}(exp( t \cdot \underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) = \mathbf{E}( \underset{1 \leq i \leq n}{max} \text{ }exp( t \cdot X_{i})) \leq \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E} (exp(t \cdot X_{i})$

이제 의 경우 임의 변수 의 모멘트 생성 기능이 무엇이든 (mgf의 정의이므로) 연결해야합니다. 용어를 단순화)하는 경우이 용어를 가져 와서 로그를 t로 나눠서 . 그럼 당신은 어떤 임의의 값을 t을 (선택할 수있는 최선의 용어는 바운드가) 꽉 것을 작은 그래서이 그래서. $exp(t \cdot X_{i}$ $X_{i}$ $\mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})$

그런 다음 nrvs를 초과하는 최대 값에 대한 설명이 있습니다. 해당 rv의 최대 값이이 예상 값에서 벗어나는 확률에 대한 설명을 얻으려면 Markov의 부등식 (rv가 음이 아닌 것으로 가정) 또는 다른 특정 rv를 사용하여 특정 rv에 적용하면됩니다.

— 파비안 팔크
소스