Beta / Dirichlet Regression이 일반화 선형 모형으로 간주되지 않는 이유는 무엇입니까?

전제는 R 패키지 betareg^1의 비 네트에서 인용 한 것 입니다.

또한이 모델은 일반화 된 선형 모델 (GLM; McCullagh and Nelder 1989)과 일부 속성 (예 : 선형 예측 변수, 링크 함수, 분산 매개 변수)을 공유하지만이 프레임 워크의 특별한 경우는 아닙니다 (고정 분산도 아닙니다) )

이 답변 은 또한 사실을 암시합니다.

[...] 반응 변수가 베타로 배포 될 때 적합한 회귀 모델 유형입니다. 일반화 된 선형 모델 과 유사 하다고 생각할 수 있습니다 . 정확히 당신이 찾고있는 것입니다 [...] (강조 광산)

질문 제목에 모든 내용이 나와 있습니다. Beta / Dirichlet Regression이 일반 선형 모델로 간주되지 않는 이유는 무엇입니까?

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내가 아는 한, 일반화 선형 모형은 종속 변수에 대한 종속 변수의 기대치를 기반으로 구축 된 모델을 정의합니다.

g Y X β σ $f$ 는 기대치를 매핑하는 링크 함수 , 는 확률 분포, 는 결과, 는 예측, 는 선형 모수이고 는 분산입니다.$g$$Y$$X$$\beta$$\sigma^2$

$$f\left(\mathbb E\left(Y\mid X\right)\right) \sim g(\beta X, I\sigma^2)$$

다른 GLM은 평균과 분산 사이의 관계를 부과 (또는 이완)하지만 는 지수 패밀리의 확률 분포 여야합니다. 즉, 올바르게 기억하면 추정의 견고성을 향상시키는 바람직한 특성입니다. Beta 및 Dirichlet 배포판은 지수 군의 일부이므로 아이디어가 없습니다.$g$

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Cribari-Neto, F., & Zeileis, A. (2009). R의 베타 회귀

원래 참조를 확인하십시오.

Ferrari, S., & Cribari-Neto, F. (2004). 모델링 속도 및 비율에 대한 베타 회귀. 응용 통계 저널, 31 (7), 799-815.

저자가 지적한 바와 같이, 매개 변수화 된 베타 분포의 매개 변수는 서로 연관되어 있으므로

매개 변수 및 는 일반 선형 회귀 모델의 클래스에서 확인 된 것과 대조적으로 직교하지 않습니다 (McCullagh and Nelder, 1989).$\beta$$\phi$

따라서 모델이 GLM처럼 보이고 GLM처럼 떨리는 반면 프레임 워크에 완벽하게 맞지는 않습니다.

@probabilityislogic의 대답은 올바른 방향입니다.

베타 분포는 두 개의 매개 변수 지수 군에 있습니다. Nelder and Wedderburn (1972) 이 설명한 간단한 GLM 모델 에는 두 모수 지수 패밀리의 분포가 모두 포함되어 있지 않습니다.

N & W의 기사와 관련하여 GLM은 다음 유형의 밀도 함수에 적용됩니다 (이는 나중에 Jørgensen 1987 에서 지수 분산 패밀리 로 명명 됨 ).

$$\pi(z;\theta,\phi) = \exp \left[ \alpha(\phi) \lbrace z\theta - g(\theta) +h(z)\rbrace +\beta(\phi,z) \right]$$

추가 링크 함수 및 자연 매개 변수 대한 선형 모델 .θ = f ( μ ) = f ( X β $f()$$\theta = f(\mu) = f(X\beta)$

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따라서 위의 배포판을 다시 작성할 수도 있습니다.

$$\pi(z;\mu,\phi) = exp \left[z(f(\mu)\alpha(\phi)) +h(z)\alpha(\phi) - g(f(\mu))\alpha(\phi) +\beta(\phi,z) \right]$$

두 모수 지수 군은 다음과 같습니다.

$$f(z;\theta_1,\theta_2) = exp \left[T_1(z)\eta_1(\theta_1,\theta_2) + T_2(z)\eta_2(\theta_1,\theta_2) - g(\theta_1,\theta_2) +h(z) \right]$$

비슷하지만 더 일반적으로 보입니다 ( 중 하나 가 일정 하다면 ).$\theta$

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차이점은 분명하며 베타 배포판을 GLM 형태로 만드는 것도 불가능합니다.

그러나 나는 더 직관적이고 정통한 답변을 만들기에 충분한 이해가 부족합니다 (다양한 기본 원칙과 훨씬 더 깊고 우아한 관계가있을 수 있다고 생각합니다). GLM 은 최소 제곱 모델 대신 단일 변이 지수 분산 모델 을 사용하여 오차 분포를 일반화하고 링크 함수를 사용하여 평균의 선형 관계를 일반화합니다.

가장 간단하고 직관적 인 직감은 지수에서 분산- 항인 것처럼 보이며 , 이는 모든 것에 곱해 지므로 분산은 따라 변하지 않습니다 . 두 개의 매개 변수 지수 군과 준우도 법인 반면, 분산 모수는 의 함수가 될 수 있습니다.$\alpha(\phi)$$\theta$$\theta$

베타 분포가 지수 분산 계열의 일부라고 생각하지 않습니다 . 이것을 얻으려면 밀도가 필요합니다

$$f (y;\theta,\tau)=\exp\left (\frac {y\theta - c (\theta)}{\tau} + d (y,\tau)\right)$$

특정 기능에 대한 및 . 평균은 로, 분산은 됩니다. 매개 변수를 표준 매개 변수라고합니다.$c ()$$d ()$$c'(\theta)$$\tau c''(\theta)$$\theta$

베타 배포판은 이런 식으로 작성 될 수 없습니다. 이것을 볼 수있는 한 가지 방법 은 로그 가능성에 항이 없다는 것입니다 대신 및 가 있습니다.로그 [ y ] 로그 [ 1 − y $y$$\log [y]$$\log [1-y]$

$$f_{beta}(y;\mu,\phi)=\exp\left (\phi\mu\log\left[\frac {y}{1-y}\right] +\phi\log [1-y] - \log [B (\phi\mu,\phi (1-\mu)]-\log\left[\frac {y}{1-y}\right]\right)$$

베타가 지수 분산 계열이 아님을 확인하는 또 다른 방법은 로 작성 될 수 있다는 것입니다. 여기서 와 는 독립적이며 둘 다 동일한 척도 모수 (및 감마)로 감마 분포를 따릅니다. 지수 가족입니다). x$y=\frac {x}{x+z}$$x$$z$