다변량 정규 분포의 조건부 분포 도출

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다변량 법선 벡터 있습니다. 칸막이 고려 및 로 ${\boldsymbol Y} \sim \mathcal{N}(\boldsymbol\mu, \Sigma)$ $\boldsymbol\mu$ ${\boldsymbol Y}$

μ = [\begin{matrix} μ_{1} \\ μ_{2} \end{matrix}]

$\boldsymbol\mu = \begin{bmatrix} \boldsymbol\mu_1 \\ \boldsymbol\mu_2 \end{bmatrix}$

Y = [\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}]

${\boldsymbol Y}=\begin{bmatrix}{\boldsymbol y}_1 \\ {\boldsymbol y}_2 \end{bmatrix}$

유사한 파티션 $\Sigma$ 에

[\begin{matrix} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12}\\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix}$ 이어서,

(y_{1} | y_{2} = a)

$({\boldsymbol y}_1|{\boldsymbol y}_2={\boldsymbol a})$ 은 두 번째로 주어진 첫 번째 파티션의 조건부 분포는

N (\bar{μ}, \bar{Σ})

$\mathcal{N}(\overline{\boldsymbol\mu},\overline{\Sigma})$ 평균

\bar{μ} = μ_{1} + Σ_{12} {Σ_{22}}^{- 1} (a - μ_{2})

$\overline{\boldsymbol\mu}=\boldsymbol\mu_1+\Sigma_{12}{\Sigma_{22}}^{-1}({\boldsymbol a}-\boldsymbol\mu_2)$ 및 공분산 행렬

\bar{Σ} = Σ_{11} - Σ_{12} {Σ_{22}}^{- 1} Σ_{21}

$\overline{\Sigma}=\Sigma_{11}-\Sigma_{12}{\Sigma_{22}}^{-1}\Sigma_{21}$

실제로 이러한 결과는 Wikipedia에서도 제공되지만 $\overline{\boldsymbol\mu}$ 및 $\overline{\Sigma}$ 가 어떻게 도출 되는지 잘 모릅니다 . 이러한 결과는 Kalman 필터 를 도출하는 데 중요한 통계 공식이므로 중요 합니다 . 누구든지 $\overline{\boldsymbol\mu}$ 및 를 도출하는 파생 단계를 제공 $\overline{\Sigma}$ 합니까? 대단히 감사합니다!

normal-distribution conditional-probability

— 비행 돼지
소스

아이디어는 조건부 밀도 입니다. 관절 은 이변 량 법선이고 한계 는 법선입니다. 값을 바꾸고 불쾌한 대수를 수행하면됩니다. 이 메모 는 도움이 될 수 있습니다. 여기 에 완전한 증거가 있습니다.

f (y_{1} | y_{2} = a) = \frac{f_{Y_{1}, Y_{2}} (y_{1}, a)}{f_{Y_{2}} (a)}

$f(y_1\vert y_2=a)=\dfrac{f_{Y_1,Y_2}(y_1,a)}{f_{Y_2}(a)}$

f_{Y_{1}, Y_{2}}

$f_{Y_1,Y_2}$

f_{Y_{2}}

$f_{Y_2}$

두 번째 링크는 질문에 답변합니다 (+1). 왜 @Procrastinator라고 대답하지 않습니까?

— gui11aume

나는 그것을 깨닫지 못했지만 조건부 PCA 에서이 방정식을 암시 적으로 사용하고 있다고 생각합니다. 조건부 PCA에는 선택하여 조건부 공분산 행렬을 효과적으로 계산 하는 변환 합니다.

(I - A^{'} {(A A^{'})}^{- 1} A) Σ

$\left(I-A'\left(AA'\right)^{-1}A\right)\Sigma$

— John

@ Procrastinator-접근하려면 실제로 Woodbury 매트릭스 아이덴티티와 블록 단위 매트릭스 반전에 대한 지식이 필요합니다. 이로 인해 불필요하게 복잡한 대수 행렬이 생성됩니다.

— 확률 론적

@probabilityislogic 사실 결과는 내가 제공 한 링크에서 입증됩니다. 그러나 다른 방법보다 복잡하다고 생각되면 존중 할 만합니다. 또한, 나는 내 의견에 최적의 솔루션을 제공하려고 시도하지 않았습니다 . 또한 내 의견은 Macro의 답변 이전에 나타났습니다.

답변:

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의견의 Procrastinator의 링크 (+1)에서와 같이 무차별 힘으로 조건부 밀도를 명시 적으로 계산하여 증명할 수 있습니다. 그러나 다변량 정규 분포의 모든 조건부 분포가 정규적이라는 정리도 있습니다. 따라서 남은 것은 평균 벡터와 공분산 행렬을 계산하는 것입니다. 나는 우리가 대학의 시계열 수업에서 이것을 세 번째 변수를 영리하게 정의하고 그 속성을 사용하여 링크의 무차별 대입 솔루션보다 더 간단하게 결과를 도출함으로써 (대수학에 익숙한 한) 기억했습니다. 나는 메모리에서 가고 있지만 다음과 같았습니다.

하자 이 될 제 파티션 번째. 이제 여기서 . 이제 우리는 쓸 수 있습니다 ${\bf x}_{1}$ ${\bf x}_2$ ${\bf z} = {\bf x}_1 + {\bf A} {\bf x}_2$ ${\bf A} = -\Sigma_{12} \Sigma^{-1}_{22}$

\begin{aligned} c o v (z, x_{2}) & = c o v (x_{1}, x_{2}) + c o v (A x_{2}, x_{2}) \\ = Σ_{12} + A v a r (x_{2}) \\ = Σ_{12} - Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} Σ_{22} \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} {\rm cov}({\bf z}, {\bf x}_2) &= {\rm cov}( {\bf x}_{1}, {\bf x}_2 ) + {\rm cov}({\bf A}{\bf x}_2, {\bf x}_2) \\ &= \Sigma_{12} + {\bf A} {\rm var}({\bf x}_2) \\ &= \Sigma_{12} - \Sigma_{12} \Sigma^{-1}_{22} \Sigma_{22} \\ &= 0 \end{align*}$

따라서 와 는 서로 관련이 없으며 공동으로 정상이므로 독립적 입니다. 이제 이므로 분명히 다음과 같습니다. ${\bf z}$ ${\bf x}_2$ $E({\bf z}) = {\boldsymbol \mu}_1 + {\bf A} {\boldsymbol \mu}_2$

\begin{aligned} E (x_{1} | x_{2}) & = E (z - A x_{2} | x_{2}) \\ = E (z | x_{2}) - E (A x_{2} | x_{2}) \\ = E (z) - A x_{2} \\ = μ_{1} + A (μ_{2} - x_{2}) \\ = μ_{1} + Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} (x_{2} - μ_{2}) \end{aligned}

$\begin{align*} E({\bf x}_1 | {\bf x}_2) &= E( {\bf z} - {\bf A} {\bf x}_2 | {\bf x}_2) \\ & = E({\bf z}|{\bf x}_2) - E({\bf A}{\bf x}_2|{\bf x}_2) \\ & = E({\bf z}) - {\bf A}{\bf x}_2 \\ & = {\boldsymbol \mu}_1 + {\bf A} ({\boldsymbol \mu}_2 - {\bf x}_2) \\ & = {\boldsymbol \mu}_1 + \Sigma_{12} \Sigma^{-1}_{22} ({\bf x}_2- {\boldsymbol \mu}_2) \end{align*}$

첫 번째 부분을 증명합니다. 공분산 행렬의 경우

\begin{aligned} v a r (x_{1} | x_{2}) & = v a r (z - A x_{2} | x_{2}) \\ = v a r (z | x_{2}) + v a r (A x_{2} | x_{2}) - A c o v (z, - x_{2}) - c o v (z, - x_{2}) A^{'} \\ = v a r (z | x_{2}) \\ = v a r (z) \end{aligned}

$\begin{align*} {\rm var}({\bf x}_1|{\bf x}_2) &= {\rm var}({\bf z} - {\bf A} {\bf x}_2 | {\bf x}_2) \\ &= {\rm var}({\bf z}|{\bf x}_2) + {\rm var}({\bf A} {\bf x}_2 | {\bf x}_2) - {\bf A}{\rm cov}({\bf z}, -{\bf x}_2) - {\rm cov}({\bf z}, -{\bf x}_2) {\bf A}' \\ &= {\rm var}({\bf z}|{\bf x}_2) \\ &= {\rm var}({\bf z}) \end{align*}$

이제 거의 끝났습니다.

\begin{aligned} v a r (x_{1} | x_{2}) = v a r (z) & = v a r (x_{1} + A x_{2}) \\ = v a r (x_{1}) + A v a r (x_{2}) A^{'} + A c o v (x_{1}, x_{2}) + c o v (x_{2}, x_{1}) A^{'} \\ = Σ_{11} + Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} Σ_{22} Σ_{22}^{- 1} Σ_{21} - 2 Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} Σ_{21} \\ = Σ_{11} + Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} Σ_{21} - 2 Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} Σ_{21} \\ = Σ_{11} - Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} Σ_{21} \end{aligned}

$\begin{align*} {\rm var}({\bf x}_1|{\bf x}_2) = {\rm var}( {\bf z} ) &= {\rm var}( {\bf x}_1 + {\bf A} {\bf x}_2 ) \\ &= {\rm var}( {\bf x}_1 ) + {\bf A} {\rm var}( {\bf x}_2 ) {\bf A}' + {\bf A} {\rm cov}({\bf x}_1,{\bf x}_2) + {\rm cov}({\bf x}_2,{\bf x}_1) {\bf A}' \\ &= \Sigma_{11} +\Sigma_{12} \Sigma^{-1}_{22} \Sigma_{22}\Sigma^{-1}_{22}\Sigma_{21} - 2 \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21} \\ &= \Sigma_{11} +\Sigma_{12} \Sigma^{-1}_{22}\Sigma_{21} - 2 \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21} \\ &= \Sigma_{11} -\Sigma_{12} \Sigma^{-1}_{22}\Sigma_{21} \end{align*}$

두 번째 부분을 증명합니다.

참고 : 여기에 사용 된 행렬 대수에 익숙하지 않은 사람들에게 이것은 훌륭한 자료 입니다.

편집 : 여기에 사용 된 하나 개의 특성이 매트릭스 요리 책 (풍어 @FlyingPig)에없는입니다 공분산 행렬에 대한 위키 피 디아 페이지에있는 건물 6 : 입니다 임의의 두 벡터의 , 스칼라의 경우 물론 그러나 벡터의 경우 행렬이 다르게 배열되는 한 서로 다릅니다. $\bf x, y$

v a r (x + y) = v a r (x) + v a r (y) + c o v (x, y) + c o v (y, x)

${\rm var}({\bf x}+{\bf y}) = {\rm var}({\bf x})+{\rm var}({\bf y}) + {\rm cov}({\bf x},{\bf y}) + {\rm cov}({\bf y},{\bf x})$

c o v (X, Y) = c o v (Y, X)

${\rm cov}(X,Y)={\rm cov}(Y,X)$

— 매크로
소스

이 훌륭한 방법에 감사드립니다! 대수학에 익숙하지 않은 행렬이 하나 있는데 를 여는 공식은 어디에서 찾을 수 있습니까? 보낸 링크에서 찾지 못했습니다.

v a r (x_{1} + A x_{2})

$var(x_1+Ax_2)$

— 날으는 돼지

@Flyingpig, 천만에요. 나는 이것이 매트릭스 요리 책에 기록되지 않은 임의의 벡터의 합의 분산의 추가 속성과 결합 된 방정식 의 결과라고 생각합니다. 그!

(291), (292)

$(291),(292)$

— 매크로

이것은 매우 좋은 대답 (+1)이지만 접근 순서의 측면에서 개선 될 수 있습니다. 우리는 와 독립적 / 관련이없는 전체 벡터 의 선형 조합 를 . 이는 및 를 의미 하는 라는 사실을 사용할 수 있기 때문 입니다. 이것들은 및 대한 표현식으로 이어집니다 . 이것은 우리가 취해야 함을 의미합니다 . 이제 합니다. 만약 가 뒤집을 수 없다면

z = C x = C_{1} x_{1} + C_{2} x_{2}

$z=Cx=C_1x_1+C_2x_2$

x_{2}

$x_2$

p (z | x_{2}) = p (z)

$p(z|x_2)=p(z)$

v a r (z | x_{2}) = v a r (z)

$var(z|x_2)=var(z)$

E (z | x_{2}) = E (z)

$E(z|x_2)=E(z)$

v a r (C_{1} x_{1} | x_{2})

$var(C_1x_1|x_2)$

E (C_{1} x_{1} | x_{2})

$E(C_1x_1|x_2)$

C_{1} = I

$C_1=I$

c o v (z, x_{2}) = Σ_{12} + C_{2} Σ_{22} = 0

$cov(z,x_2)=\Sigma_{12}+C_2\Sigma_{22}=0$

Σ_{22}

$\Sigma_{22}$

C_{2} = - Σ_{12} Σ_{22}^{- 1}

$C_2=-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}$ .

— chanceislogic

@jakeoung - 그것은되지 증명 하는 우리가 우리가 알고 싶은 변수를 포함하는 식을 얻을 수 있도록이 값으로 설정됩니다.

C_{1} = I

$C_1=I$

— probabilityislogic

@jakeoung 나는 또한 그 진술을 이해하지 못합니다. 이런 방식으로 이해 : 만약 , 다음 . 따라서 의 값 은 어떻게 든 임의의 척도입니다. 간단하게하기 위해 로 설정했습니다 .

c o v (z, x_{2}) = 0

$cov(z, x_2)=0$

c o v (C_{1}^{- 1} z, x_{2}) = C_{1}^{- 1} c o v (z, x_{2}) = 0

$cov(C_1^{-1} z, x_2) = C_1^{-1} cov( z, x_2)=0$

C_{1}

$C_1$

C_{1} = I

$C_1=I$

— Ken T

Macro 의 대답 은 훌륭하지만 여기에 조건부 분포를 주장하는 외부 정리를 사용할 필요가없는 더 간단한 방법이 있습니다. 여기에는 조건 문의 인수 변수를 분리하는 형식으로 Mahanalobis 거리를 작성하고 그에 따라 정규 밀도를 인수 분해하는 작업이 포함됩니다.

조건부 벡터에 대한 Mahanalobis 거리 다시 쓰기 : 이 파생에서는 Schur 보완 사용하는 행렬 반전 공식을 사용합니다. . 먼저 블록 단위 반전 공식 을 사용하여 역 분산 행렬을 다음과 같이 작성합니다. $\boldsymbol{\Sigma}_\text{S} = \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{21}$

\begin{aligned} Σ^{- 1} = {[\begin{matrix} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{matrix}]}^{- 1} = [\begin{matrix} Σ_{11}^{*} & Σ_{12}^{*} \\ Σ_{21}^{*} & Σ_{22}^{*} \end{matrix}], \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma}_{11} & \boldsymbol{\Sigma}_{12} \\ \boldsymbol{\Sigma}_{21} & \boldsymbol{\Sigma}_{22} \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma}_{11}^* & \boldsymbol{\Sigma}_{12}^* \\ \boldsymbol{\Sigma}_{21}^* & \boldsymbol{\Sigma}_{22}^* \\ \end{bmatrix}, \end{aligned} \end{equation}$

어디:

\begin{aligned} \begin{matrix} Σ_{11}^{*} = Σ_{S}^{- 1} & Σ_{12}^{*} = - Σ_{S}^{- 1} Σ_{12} Σ_{22}^{- 1}, \\ Σ_{21}^{*} = - Σ_{22}^{- 1} Σ_{12} Σ_{S}^{- 1} & Σ_{22}^{*} = Σ_{22}^{- 1} Σ_{12} Σ_{S}^{- 1} Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} . \end{matrix} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{matrix} \boldsymbol{\Sigma}_{11}^* = \boldsymbol{\Sigma}_\text{S}^{-1} \text{ } \quad \quad \quad \quad & & & & & \boldsymbol{\Sigma}_{12}^* = -\boldsymbol{\Sigma}_\text{S}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}, \quad \quad \quad \\[6pt] \boldsymbol{\Sigma}_{21}^* = - \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_\text{S}^{-1} & & & & & \boldsymbol{\Sigma}_{22}^* = \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_\text{S}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}. \text{ } \\[6pt] \end{matrix} \end{aligned} \end{equation}$

이 공식을 사용하여 Mahanalobis 거리를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\begin{aligned} (y - μ)^{T} Σ^{- 1} (y - μ) & = {[\begin{matrix} y_{1} - μ_{1} \\ y_{2} - μ_{2} \end{matrix}]}^{T} [\begin{matrix} Σ_{11}^{*} & Σ_{12}^{*} \\ Σ_{21}^{*} & Σ_{22}^{*} \end{matrix}] [\begin{matrix} y_{1} - μ_{1} \\ y_{2} - μ_{2} \end{matrix}] \\ = (y_{1} - μ_{1})^{T} Σ_{11}^{*} (y_{1} - μ_{1}) + (y_{1} - μ_{1})^{T} Σ_{12}^{*} (y_{2} - μ_{2}) \\ + (y_{2} - μ_{2})^{T} Σ_{21}^{*} (y_{1} - μ_{1}) + (y_{2} - μ_{2})^{T} Σ_{22}^{*} (y_{2} - μ_{2}) \\ = (y_{1} - (μ_{1} + Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} (y_{2} - μ_{2})))^{T} Σ_{S}^{- 1} (y_{1} - (μ_{1} + Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} (y_{2} - μ_{2}))) \\ = (y_{1} - μ_{*})^{T} Σ_{*}^{- 1} (y_{1} - μ_{*}), \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} (\boldsymbol{y} - \boldsymbol{\mu})^\text{T} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{y} - \boldsymbol{\mu}) &= \begin{bmatrix} \boldsymbol{y}_1 - \boldsymbol{\mu}_1 \\ \boldsymbol{y}_2 - \boldsymbol{\mu}_2 \end{bmatrix}^\text{T} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma}_{11}^* & \boldsymbol{\Sigma}_{12}^* \\ \boldsymbol{\Sigma}_{21}^* & \boldsymbol{\Sigma}_{22}^* \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{y}_1 - \boldsymbol{\mu}_1 \\ \boldsymbol{y}_2 - \boldsymbol{\mu}_2 \end{bmatrix} \\[6pt] &= \quad (\boldsymbol{y}_1 - \boldsymbol{\mu}_1)^\text{T} \boldsymbol{\Sigma}_{11}^* (\boldsymbol{y}_1 - \boldsymbol{\mu}_1) + (\boldsymbol{y}_1 - \boldsymbol{\mu}_1)^\text{T} \boldsymbol{\Sigma}_{12}^* (\boldsymbol{y}_2 - \boldsymbol{\mu}_2) \\[6pt] &\quad + (\boldsymbol{y}_2 - \boldsymbol{\mu}_2)^\text{T} \boldsymbol{\Sigma}_{21}^* (\boldsymbol{y}_1 - \boldsymbol{\mu}_1) + (\boldsymbol{y}_2 - \boldsymbol{\mu}_2)^\text{T} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^* (\boldsymbol{y}_2 - \boldsymbol{\mu}_2) \\[6pt] &= (\boldsymbol{y}_1 - (\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} (\boldsymbol{y}_2 - \boldsymbol{\mu}_2)))^\text{T} \boldsymbol{\Sigma}_\text{S}^{-1} (\boldsymbol{y}_1 - (\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} (\boldsymbol{y}_2 - \boldsymbol{\mu}_2))) \\[6pt] &= (\boldsymbol{y}_1 - \boldsymbol{\mu}_*)^\text{T} \boldsymbol{\Sigma}_*^{-1} (\boldsymbol{y}_1 - \boldsymbol{\mu}_*), \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

어디:

\begin{aligned} μ_{*} & \equiv μ_{1} + Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} (y_{2} - μ_{2}), \\ Σ_{*} & \equiv Σ_{11} - Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} Σ_{21} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mu}_* &\equiv \boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} (\boldsymbol{y}_2 - \boldsymbol{\mu}_2), \\[8pt] \boldsymbol{\Sigma}_* &\equiv \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{21}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

이 결과는 랜덤 벡터의 정규성을 가정하지 않는 일반적인 결과입니다. 그것은 Mahanalobis 거리를 재구성하는 유용한 방법을 제공하여 분해의 벡터 중 하나에 대해서만 2 차 형태가되도록합니다 (다른 하나는 평균 벡터 및 분산 행렬에 흡수됨).

조건부 분포 도출 : 이제 Mahanalobis 거리에 대한 위의 양식을 가지므로 나머지는 쉽습니다. 우리는 :

\begin{aligned} p (y_{1} | y_{2}, μ, Σ) & \overset{y_{1}}{\propto} p (y_{1}, y_{2} | μ, Σ) \\ = N (y | μ, Σ) \\ \overset{y_{1}}{\propto} \exp (- \frac{1}{2} (y - μ)^{T} Σ^{- 1} (y - μ)) \\ = \exp (- \frac{1}{2} (y_{1} - μ_{*})^{T} Σ_{*}^{- 1} (y_{1} - μ_{*})) \\ \overset{y_{1}}{\propto} N (y_{1} | μ_{*}, Σ_{*}) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} p(\boldsymbol{y}_1 | \boldsymbol{y}_2, \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) &\overset{\boldsymbol{y}_1}{\propto} p(\boldsymbol{y}_1 , \boldsymbol{y}_2 | \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) \\[12pt] &= \text{N}(\boldsymbol{y} | \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) \\[10pt] &\overset{\boldsymbol{y}_1}{\propto} \exp \Big( - \frac{1}{2} (\boldsymbol{y} - \boldsymbol{\mu})^\text{T} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{y} - \boldsymbol{\mu}) \Big) \\[6pt] &= \exp \Big( - \frac{1}{2} (\boldsymbol{y}_1 - \boldsymbol{\mu}_*)^\text{T} \boldsymbol{\Sigma}_*^{-1} (\boldsymbol{y}_1 - \boldsymbol{\mu}_*) \Big) \\[6pt] &\overset{\boldsymbol{y}_1}{\propto}\text{N}(\boldsymbol{y}_1 | \boldsymbol{\mu}_*, \boldsymbol{\Sigma}_*). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

이는 조건부 분포가 지정된 조건부 평균 벡터와 조건부 분산 행렬을 사용하여 다변량 정규도임을 확인합니다.

— 벤
소스