kriging에 관한 혼란

나는 kriging과 관련된 이 wikipedia 기사를 읽고 있었다 . 나는 그것이 말할 때 그 부분을 이해하지 못했다

클리 깅 계산해 선형 비 편향 추정기 최고의, 의 되도록 unbiasedness 조건 최소화의 분산을 클리 깅. 나는 파생을 얻지 못했고 분산이 어떻게 최소화되는지. 어떤 제안?$\hat Z (x_0)$$Z(x_0)$

특히, 나는 불편한 상태에 최소화 된 대상을 적용하는 부분을 얻지 못했습니다.

그랬어 야한다고 생각합니다

E [Z '(x) -Z (x)] 대신 E [Z'(x0) -Z (x0)]가 아닙니다. '는 위키 기사의 hat과 같습니다. 또한 kriging 오류가 파생되는 방법을 얻지 못했습니다.

가정 벡터가 인 것은 알려지지 평균의 다변량 분포가 가정 및 알려진 분산 공분산 행렬 . 이 분포에서 를 관찰 하고 편견없는 선형 예측 변수를 사용하여이 정보에서 을 예측 하려고합니다 .$\left(Z_0, Z_1, \ldots, Z_n\right)$$(\mu, \mu, \ldots, \mu)$$\Sigma$$\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$ $z_0$

• 선형 은 계수 를 결정 하려면 예측이 형식을 취해야 함을 의미합니다 . 이러한 계수는 미리 알려진 내용, 즉 의 항목에 따라 크게 달라질 수 있습니다 .$\hat{z_0} = \lambda_1 z_1 + \lambda_2 z_2 + \cdots + \lambda_n z_n$$\lambda_i$$\Sigma$

이 예측 변수는 임의 변수 으로 간주 될 수도 있습니다 .$\hat{Z_0} = \lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n$

• Unbiased 는 의 기대치가 (알 수없는) 평균 와 같다는 것을 의미 합니다.$\hat{Z_0}$$\mu$

내용을 작성하면 계수에 대한 정보가 제공됩니다.

$$\eqalign{ \mu &= E[\hat{Z_0}] = E[\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n] \\ &= \lambda_1 E[Z_1] + \lambda_2 E[Z_2] + \cdots + \lambda_n E[Z_n] \\ &= \lambda_1 \mu + \cdots + \lambda_n \mu \\ &= \left(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n\right) \mu. \\ }$$

두 번째 줄은 기대의 선형성 때문이며 나머지는 모두 대수학입니다. 이 절차는 값에 관계없이 작동한다고 가정하기 때문에 , 계수는 반드시 합산되어야합니다. 벡터 표기법 계수를 쓰면 깔끔하게 쓸 수 있습니다 .$\mu$$\lambda = (\lambda_i)'$$\mathbf{1}\lambda=1$

그러한 편향되지 않은 모든 선형 예측 변수 중에서 방 평균 제곱으로 측정 된 실제 값에서 최대한 벗어나는 것을 찾습니다 . 이것은 다시 계산입니다. 공분산의 이중선 성과 대칭에 의존하며, 두 번째 줄의 합산에 대한 적용은 다음과 같습니다.

$$\eqalign{ E[(\hat{Z_0} - Z_0)^2] &= E[(\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n - Z_0)^2] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \text{var}[Z_i, Z_j]-2\sum_{i=1}^n\lambda_i \text{var}[Z_i, Z_0] + \text{var}[Z_0, Z_0] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \Sigma_{i,j} - 2\sum_{i=1}^n\lambda_i\Sigma_{0,i} + \Sigma_{0,0}. }$$

계수는이 2 차 형태를 최소화하여 (선형) 구속 조건 따라 얻을 수 있습니다 . 이것은 Lagrange multipliers 방법을 사용하여 쉽게 해결 되어 "Kriging equations" 라는 선형 방정식 시스템을 생성합니다 .$\mathbf{1}\lambda=1$

본 출원에서, 는 공간 확률 프로세스 ( "random field")이다. 즉, 임의의 고정 위치가 아닌 임의의 고정 된 위치 에 대해 해당 위치 의 값 벡터 는 어떤 종류의 다변량 분포에 무작위입니다. 쓰고 모든 위치 에서 공정의 평균이 가정 하고 위의 분석을 적용합니다. 는 에서의 공정 값의 공분산 행렬을 가정 합니다. 곳의 위치는 확실하게 알려져 있습니다.$Z$$\mathbf{x_0}, \ldots, \mathbf{x_n}$$Z$$\left(Z(\mathbf{x_0}), \ldots, Z(\mathbf{x_n})\right)$$Z_i = Z(\mathbf{x_i})$$n+1$$\mathbf{x_i}$$n+1$

이것을 해석하자. 가정 (상수 평균 및 알려진 공분산 포함)에서 계수는 선형 추정기로 얻을 수있는 최소 분산을 결정합니다. 이 차이를 ( "OK"는 "일반 크릭")입니다. 매트릭스 에만 의존 합니다. 에서 반복적으로 샘플링 하고이 계수를 사용하여 매번 나머지 값에서 값 을 예측하는 경우$\sigma_{OK}^2$$\Sigma$$\left(Z_0, \ldots, Z_n\right)$$z_0$

1. 평균적으로 우리의 예측은 정확할 것입니다.

2. 일반적으로, 우리의 예측 대한 벗어난 것 의 실제 값에서 .$z_0$$\sigma_{OK}$$z_0$

시간이 정확한 데이터로부터 표면을 추정하는 것과 같은 실제 상황에 적용될 수 있으려면 훨씬 더 많은 이야기가 필요합니다. 공간 프로세스의 통계적 특성이 지역마다 어떻게 다른지에 따라 어떻게 다른지에 대한 추가 가정이 필요합니다. 실제로는 일반적으로 하나의 실현 만 가능합니다). 그러나이 설명은 "최고의"편견없는 선형 예측 자 ( "BLUP")에 대한 검색이 선형 방정식 시스템으로 간단하게 이어지는 방법을 따르기에 충분해야합니다.

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그건 그렇고, 일반적으로 수행되는 크릭은 최소 제곱 추정과 동일하지 않습니다. 는 동일한 데이터를 사용 하는 예비 절차 ( "변형 법"이라고 함)에서 추정 되기 때문 입니다. 이는 가 알려져 있다고 가정 한 (그리고 데이터 와 무관 한 포티 오리) 이 파생의 가정과 상반됩니다 . 따라서 처음부터 크 래깅에는 몇 가지 개념적 및 통계적 결함이 있습니다. 사려 깊은 개업의는 항상 이것을 알고 있었고 불일치를 정당화하기위한 다양한 창의적 방법을 발견했습니다. ( 많은 데이터가 있으면 실제로 도움이 될 수 있습니다.) 이제 를 동시에 추정하기위한 절차가 있습니다 . $\Sigma$$\Sigma$$\Sigma$미지의 위치에서 값들의 집합을 예측하는 단계를 포함한다. 이 위업을 달성하기 위해서는 약간 더 강한 가정 (다변량 정규성)이 필요합니다.

Kriging은 공간 데이터에 대한 최소 제곱 추정입니다. 따라서 제곱 오차의 합을 최소화하는 선형 편향 추정량을 제공합니다. 편향되지 않았기 때문에 MSE = 추정기 분산이며 최소값입니다.