랜덤 변수에 대한 평균을 나눈 값은 무엇입니까?

허락하다 $X_i$ IID이고 $\bar{X} = \sum_{i=1}^{n} X_i$ .

E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] = ?

$E\left[\frac{X_i}{\bar{X}}\right] = \ ?$ 명백해 보이지만 공식적으로 도출하는 데 문제가 있습니다.

probability random-variable expected-value

— stollenm
소스

허락하다 $X_1,\dots,X_n$ 독립적이고 동일하게 분포 된 랜덤 변수이고 정의

\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} \dots + X_{n}}{n} .

$\bar{X}=\frac{X_1+X_2\dots+X_n}{n}.$

한다고 가정 $\Pr\{\bar{X}\ne 0\}=1$ . 가 동일하게 분포되어 있기 때문에 대칭은 에 대해 (종속) 랜덤 변수 는 같은 분포를 갖습니다 : 기대치 가 존재하는 경우 (이것이 중요한 포인트입니다), 및에 대한 , 우리가 $X_i$ $i=1,\dots n$ $X_i/\bar{X}$

\frac{X_{1}}{\bar{X}} \sim \frac{X_{2}}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_{n}}{\bar{X}} .

$\frac{X_1}{\bar{X}} \sim \frac{X_2}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_n}{\bar{X}}.$

E [X_{i} / \bar{X}]

$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$

E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] = E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] = \dots = E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}],

$\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] = \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] = \dots = \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right],$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

\begin{aligned} E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] & = \frac{1}{n} (E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] + E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] + \dots + E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}]) \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1}}{\bar{X}} + \frac{X_{2}}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{n \bar{X}}{\bar{X}}] \\ = \frac{n}{n} E [\frac{\bar{X}}{\bar{X}}] = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[ \frac{X_i}{\bar{X}} \right] &= \frac{1}{n} \left( \mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] + \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] + \dots + \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \right) \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} + \frac{X_2}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{n\bar{X}}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{n}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{\bar{X}}{\bar{X}} \right] = 1. \end{align}$

간단한 Monte Carlo로 확인할 수 있는지 봅시다.

x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5)
mean(x[, 3] / rowMeans(x))

[1] 1.00511

좋습니다. 결과는 반복해서 크게 변하지 않습니다.

— 선
소스

(+1) 가 존재하지 않는다는 결론 은 사실이지만 와 는 독립적이지 않기 때문에 아직 연결하지 않은 것보다 더 작은 인수가 필요합니다 .

E [X_{i} / \bar{X}]

$E[X_i/\bar X]$

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@ whuber :이 부분을 조금 확장 할 수 있습니까, Bill? 나는 연결된 질문에 대한 주석 중 하나에서 와 의 의존성을 언급했습니다 . 또한 Xi'an의 답변 은 간단한 변환으로 사례를 해결합니다 . 그는 또한 그의 의견 중 하나에 의 배포판을 주었다 . 이것에 대한 당신의 생각에 감사합니다.

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar{X}$

n = 2

$n=2$

X_{i} / \bar{X}

$X_i/\bar{X}$

— Zen

@ whuber : , 이후로 설명이 잘 작동한다고 생각합니다. , 는 표준 Cauchy입니다. 의존성이 없습니다.

X_{i} / \bar{X} = n / {1 + X_{2} / X_{1} + \dots + X_{n} / X_{1}}

$X_i/\bar{X}=n/\{1+X_2/X_1+\cdots+X_n/X_1\}$

n / {1 + (n - 1) Z}

$n/\{1+(n-1)Z\}$

Z

$Z$

— 시안

@ Xi'an : 및 이 표준 Cauchy이므로 도 표준 Cauchy 이므로 여기서 ( 경우)를 사용 했습니까? 그러나 와 가 독립적이지 않기 때문에 사실 이 아닙니다.

n = 3

$n=3$

U = X_{2} / X_{1}

$U=X_2/X_1$

V = X_{3} / X_{1}

$V=X_3/X_1$

(U + V) / 2

$(U+V)/2$

U

$U$

V

$V$

— Zen

@Zen는 : 그러나, 및 독립적 보통 따라서 variates있다 A의 경우 코시이다 규모보다는 .

(X_{2} + \dots + X_{n})

$(X_2+\cdots+X_n)$

X_{1}

$X_1$

(X_{2} + \dots + X_{n}) / X_{1}

$(X_2+\cdots+X_n)/X_1$

\sqrt{n - 1}

$\sqrt{n-1}$

n - 1

$n-1$

— 시안