이 사람이 여성 일 확률은 얼마입니까?

커튼 뒤에 사람이 있습니다-사람이 여성인지 남성인지 모르겠습니다.

나는 사람의 머리카락이 길고 머리카락이 긴 모든 사람의 90 %가 여성이라는 것을 알고 있습니다.

나는 그 사람이 희귀 혈액형 AX3을 가지고 있으며이 혈액형을 가진 모든 사람들의 80 %가 여성이라는 것을 알고 있습니다.

그 사람이 여성 일 확률은 얼마입니까?

참고 :이 원래 공식은 두 가지 추가 가정으로 확장되었습니다. 1. 혈액형과 모발 길이는 독립적입니다.

(여기서 구체적인 시나리오는 그다지 관련성이 없습니다. 오히려이 질문에 대답하기위한 올바른 접근 방식을 생각해야하는 긴급한 프로젝트가 있습니다. 내 직감은 단순한 결정적인 대답이있는 단순한 확률의 문제라는 것입니다. 다른 통계 이론에 따라 여러 가지 논쟁의 여지가있는 것보다.)

많은 사람들이 "인구", 그 안의 하위 그룹 및 비율 (확률이 아닌)의 관점에서 생각하는 것이 도움이된다고 생각 합니다. 이것은 시각적 추론에 적합합니다.

나는 그림을 자세히 설명 할 것이지만, 두 그림의 빠른 비교는 질문에 대한 구체적인 대답을 제시 할 수없는 방법과 이유를 즉각적이고 확실하게 나타내야한다는 것입니다. 약간 더 긴 시험은 답변을 결정하거나 적어도 답변에 대한 한계를 얻는 데 유용한 추가 정보가 무엇인지 제안합니다.

전설

크로스 해칭 : 여성 / 단색 배경 : 남성.

위 : 장발 / 아랫면 : 단발.

오른쪽 (색) : AX3 / 왼쪽 (색) : 비 AX3.

데이터

상단 교차 해칭은 상단 사각형의 90 %입니다 ( "긴 머리를 가진 모든 사람의 90 %는 여성").

오른쪽 색 사각형의 총 크로스 해칭은 해당 사각형의 80 %입니다 ( "이 혈액형을 가진 모든 사람의 80 %는 여성입니다").

설명

이 다이어그램은 인구 (고려중인 모든 여성 및 비 여성)의 인구를 여성 / 여성 비 여성, AX3 / 비 -AX3 및 긴 머리 / 비긴 머리 ( "짧은")로 동시에 분할하는 방법을 개략적으로 보여줍니다. 면적을 적어도 대략적으로 사용하여 비율을 나타냅니다 (그림을 더 선명하게하기 위해 과장된 부분이 있습니다).

이 세 가지 이진 분류는 8 개의 가능한 그룹을 만드는 것이 분명합니다. 각 그룹이 여기에 나타납니다.

주어진 정보는 상단 십자형 사각형 (긴 머리 여성)이 상단 사각형 (모든 긴 머리 사람)의 90 %를 구성한다는 것을 나타냅니다. 또한 색이 지정된 사각형 (AX3이있는 장발 암컷과 AX3이있는 단발 암컷)의 교차 십자 부분이 오른쪽에있는 색 영역의 80 % (AX3을 가진 모든 사람)를 구성한다고 명시되어 있습니다. 우리는 누군가가 AX3을 가진 긴 머리 사람들 오른쪽 상단 모서리 (화살표)에 있다고 들었습니다. 이 직사각형의 어느 부분이 크로스 해칭 (여성)입니까?

또한 혈액 유형과 머리카락 길이가 독립적 이라고 가정했습니다 . 색상이 표시된 위쪽 사각형 (긴 머리)의 비율 (AX3)은 색이 지정된 아래쪽 사각형 (짧은 머리)의 비율과 같습니다 (AX3). 이것이 독립성을 의미합니다. 이와 같은 질문을 처리 할 때 만드는 것은 공정하고 자연스러운 가정이지만 물론 언급해야합니다.

상단 십자형 사각형 (긴 머리 암컷)의 위치는 알려져 있지 않습니다. 상단 교차 해치 사각형을 좌우로 슬라이딩하고 하단 교차 해칭 사각형을 좌우로 슬라이딩하고 너비를 변경하는 것을 상상할 수 있습니다. 만약 우리가 색 사각형의 80 %가 크로스 해칭을 유지하도록 그렇게한다면, 그러한 변경은 명시된 정보를 전혀 바꾸지 않을 것이지만, 오른쪽 위 사각형의 암컷 비율을 바꿀 수 있습니다. 분명히이 비율은 0 %에서 100 % 사이 일 수 있으며이 이미지와 같이 주어진 정보와 여전히 일치 할 수 있습니다.

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이 방법의 장점 중 하나 는 질문에 대한 여러 답변이 존재한다는 것입니다. 이 모든 것을 대수적으로 번역 할 수 있으며 확률을 규정하여 특정 상황을 가능한 예로 제시 할 수 있지만 그러한 예가 실제로 데이터와 일치하는지에 대한 의문이 생길 수 있습니다. 예를 들어, 장발 사람들의 50 %가 AX3이라고 제안하는 사람이 있었을 때 처음부터 가능한 모든 정보를 감안할 때 이것이 가능하다는 것은 분명하지 않습니다. 인구와 하위 그룹에 대한이 (벤) 다이어그램은 그러한 것들을 명확하게합니다.

이것은 조건부 확률의 문제입니다. 당신은 사람이 긴 머리카락과 혈액형 Ax3을 가지고 있음을 알고 있습니다. 하자 따라서 를 찾습니다 . 및 이라는 것을 알고 있습니다. 를 계산하기에 충분 합니까? 가정 . 그런 다음 이라고 가정하십시오 . 그런 다음 위의 방법으로P ( C | A 및 B ) P ( C | A ) = 0.9 P ( C | B ) = 0.8 P ( C | A 및 B ) P ( A 및 B 및 C ) = 0.7 P ( C | A 및 B ) =

$$\ \ \ \ \ A =\{\text{'The person has long hair'}\}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B = \{\text{'The person has blood type Ax3'}\} \\ C =\{\text{'The person is female'}\}.$$
$P(C|A\ \text{and}\ B)$$P(C|A)=0.9$$P(C|B)=0.8$
$P(C|A\ \text{and}\ B)$$P(A\ \text{and}\ B\ \text{and}\ C)=0.7$P ( A 및 B ) = 0.8 P ( C | A 및 B ) = 0.875 P ( A 및 B ) = 0.9 P ( C | A 및 B $$P(C|A\ \text{and}\ B)=P(A\ \text{and}\ B\ \text{and}\ C)/ P(A\ \text{and}\ B)=0.7/P(A\ \text{and}\ B).$$ $P(A\ \text{and}\ B)=0.8$$P(C|A\ \text{and}\ B)=0.875$ 입니다. 반면에 이면 = 0.78이됩니다.$P(A\ \text{and}\ B)=0.9$$P(C|A\ \text{and}\ B)$

이제 및 때 둘 다 가능합니다 . 따라서 가 무엇인지 확실하게 알 수 없습니다 .P ( C | B ) = 0.8 P ( C | A 및 B $P(C|A)=0.9$$P(C|B)=0.8$$P(C|A\ \text{and}\ B)$

매혹적인 토론! P (A)와 P (B)를 지정했는지 여부와 P (C | A, B)의 범위가 전체 제약 [0,1]보다 훨씬 좁지 않을지 궁금합니다. 우리는.

위에서 소개 한 표기법을 고수하십시오.

A = 사람이 긴 머리를 가진 사건

B = 사람이 혈액형 AX3을 갖는 경우

C = 사람이 여성 인 경우

P (C | A) = 0.9

P (C | B) = 0.8

P (C) = 0.5 (즉, 전체 인구에서 남녀 비율이 같다고 가정하자)

이벤트 A와 B가 C를 조건부로 독립적이라고 가정하는 것은 불가능합니다! 즉 모순 직접 이어진다 경우 $P(A \wedge B | C) = P(A| C) \cdot P(B| C) = P(C| A) \frac{P(A)}{P(C)} \cdot P(C| B) \frac{P(B)}{P(C)}$

그때

$P(C| A \wedge B ) = P(A \wedge B | C) \cdot \left( \frac{P(C)}{P(A \wedge B)} \right) = P(C| A) \frac{P(A)}{P(C)} \cdot P(C| B) \frac{P(B)}{P(C)} \cdot \left( \frac{P(C)}{P(A \wedge B)} \right)$

이제 A와 B가 독립적이라고 가정하면 대부분의 용어가 취소되고$P(A \wedge B) = P(A) P(B)$

$P(C| A \wedge B ) = \frac{P(C| A) \cdot P(C| B)}{P(C)} = \frac{0.9 \cdot 0.8}{0.5} > 1$

문제에 대한 whuber의 멋진 기하학적 표현에 대한 후속 조치 : 일반적으로 말하면 는 간격 [ 0 , 1 ] 에서 임의의 값을 가정 할 수 있다는 것이 사실이지만 기하학적 구속 조건은 가능한 값의 범위를 크게 좁 힙니다. "너무 작지 않은" P ( A ) 및 P ( B )의 값 . (우리는 또한 한계를 상한으로 할 수 있습니다 : P ( A ) 및 P ( B ) )$P(C | A \wedge B)$$[0,1]$$P(A)$$P(B)$$P(A)$$P(B)$

다음 기하학적 제약 조건 에서 에 대한 {\ bf smallest possible value}를 계산해 보겠습니다 .$P(C | A \wedge B)$

1. 상단 사각형으로 덮힌 상단 영역의 비율 (A TRUE)은 P ( C | A ) = 0.9와 같아야합니다.$P(C|A)=0.9$

2. 두 직사각형의 면적의 합은 P ( C ) = 0.5와 같아야합니다.$P(C)=0.5$

3. 두 색 사각형의 면적 비율 (즉, 이벤트 B와 겹침)의 합은 P ( C | B ) = 0.8 과 같아야합니다.$P(C|B)=0.8$

4. (사소한) 위 사각형은 왼쪽 경계를 넘어서 이동할 수 없으며 왼쪽의 최소 겹침을 넘어서는 안됩니다.

5. (사소한) 아래쪽 사각형은 오른쪽 경계를 넘어서 이동할 수 없으며 오른쪽의 최대 겹침을 넘어서는 안됩니다.

이러한 제약 자유롭게 우리는 해시 사각형을 밀어 다시 낮은 경계 생성 할 수있는 방법을 제한 . 아래 그림 (이 R 스크립트로 작성 )은 두 가지 예를 보여줍니다. $P(C | A \wedge B)$

P (A) 및 P (B) ( R script )에 대해 가능한 값 범위를 실행 하면이 그래프가 생성됩니다.

결론적으로, 주어진 P (A), P (B)에 대한 조건부 확률 P (c | A, B)를 하한으로 낮출 수 있습니다

커튼 뒤에있는 사람은 여자라는 가설을 세우십시오.

우리는 두 가지 증거, 즉 :

증거 1 : 사람의 머리카락이 길다는 것을 알고 있습니다 (그리고 머리카락이 긴 모든 사람의 90 %가 여성이라고 들었습니다)

증거 2 : 우리는 그 사람이 희귀 한 혈액형 AX3을 가지고 있다는 것을 알고 있습니다 (그리고 우리는이 혈액형을 가진 모든 사람의 80 %가 여성이라고 들었습니다)

증거 1 만 제시하면 커튼 뒤에있는 사람이 여성 일 가능성이 0.9 일 가능성이 있다고 말할 수 있습니다 (남성과 여성이 50:50으로 가정).

스레드의 앞부분에서 제기 된 질문, 즉 "답이 0.9보다 커야한다는 데 동의하겠습니까?"라는 수학에 대해 직관적으로 말하면 대답은 "예"(0.9보다 큼) 여야합니다. 논리는 증거 2가 증거를 뒷받침한다는 것입니다 (세계의 남녀 수에 대한 50:50 분할 가정). AX3 형 혈액을 가진 모든 사람의 50 %가 여성이라고 들었다면, 증거 2는 중립적이며 아무런 관련이 없습니다. 그러나 우리는이 혈액형을 가진 모든 사람들의 80 %가 여성이라고 들었습니다. 증거 2는 증거를지지하고 논리적으로 여성의 최종 확률을 0.9 이상으로 밀어야합니다.

특정 확률을 계산하기 위해 증거 1에 베이 즈 규칙을 적용한 다음 베이지안 업데이트를 사용하여 증거 2를 새로운 가설에 적용 할 수 있습니다.

다음을 가정하십시오.

A = 사람이 긴 머리를 가진 사건

B = 사람이 혈액형 AX3을 갖는 경우

C = 사람이 여성 인 경우 (50 % 가정)

증거 1에 베이 즈 규칙 적용 :

P (C | A) = (P (A | C) * P (C)) / P (A)

이 경우에 우리가 남성과 여성 사이의 50:50 분할을 가정하면 다음과 같습니다.

P (A) = (0.5 * 0.9) + (0.5 * 0.1) = 0.5

따라서 P (C | A) = (0.9 * 0.5) / 0.5 = 0.9 (놀랍지는 않지만, 남성과 여성 사이에 50:50 분할이 없다면 다를 것입니다)

베이지안 업데이트를 사용하여 증거 2를 적용하고 0.9를 새 사전 확률로 연결하면 다음과 같은 이점이 있습니다.

P (C | A AND B) = (P (B | C) * 0.9) / P (E)

여기에서, P (E)는 그 사람이 이미 여성 일 확률이 90 %라는 가설을 감안할 때 증거 2의 확률입니다.

P (E) = (0.9 * 0.8) + (0.1 * 0.2) [이것은 총 확률의 법칙입니다 : (P (woman) * P (AX3 | woman) + P (man) * P (AX3 | man)] So , P (E) = 0.74

따라서 P (C | A AND B) = (0.8 * 0.9) / 0.74 = 0.97297

질문 재 작성 및 일반화

$A$$B$$C$$0$$1$$Z_i$$Z$$i$$(X | Y)$$X$$Y$$(A_a | B_b C_c I)$

1. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$$(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$
2. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$$(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$$(B C | I) = (B | I)(C | I)$
3. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$$(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$$(A_0 | I) = \frac{1}{2}$
4. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$$(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$$(A_0 | I) = \frac{1}{2}$$(B C | I) = (B | I)(C | I)$

$I$

$$(B_j C_k | I) = (B_j | I)(C_k | I) \quad , \quad j = 0, 1 \quad k = 0,1$$

대답

사례 1

$(ABC | I)$$(ABC | I)$

정보가 다른 방법으로 결정하지 않을 때 할당 할 분포가 알려진 정보와 일치하는 모든 분포 중에서 가장 큰 엔트로피를 갖는 것임을 다양한 난해한 수단으로 알 수 있습니다. 다른 배포판 은 알려진 정보보다 더 많은 정보를 알고 있음을 의미합니다 . 물론 모순입니다.

$$- \sum_{i,j,k} (A_i B_j C_k | I) \ln (A_i B_j C_k | I)$$ $$\sum_{i,j,k} (A_i B_j C_k | I) = 1$$ $$(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1 \quad\quad \text{i.e.} \quad \frac{\sum\limits_k (A_{a_1} B_{b_1} C_k | I )}{\sum\limits_{i,k} (A_i B_{b_1} C_k | I)} = u_1$$ $$(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2 \quad\quad \text{i.e.} \quad \frac{\sum\limits_j (A_{a_2} B_j C_{c_2} | I)}{\sum\limits_{i,j} (A_i B_j C_{c_2} | I)} = u_2$$

1. $\longleftrightarrow A_1$
2. $\longleftrightarrow B_1$
3. $\longleftrightarrow C_1$

$a = 1$$b = 1$$c = 1$$a_1 = 1$$b_1 = 1$$a_2 = 1$$c_2 = 1$$u_1 = 0.9$$u_2 = 0.8$$(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.932$. 따라서 커튼 뒤에있는 사람이 긴 머리카락과 혈액형 AX3을 가졌다 고 가정 할 때 여성 일 확률은 0.932입니다.

사례 2

$B$$C$

$$\begin{align*} (B_0 | C_l I) &= (B_0 | I) \quad , \quad l = 0, 1 \\ \end{align*}$$ $$\begin{align*} \frac{\sum\limits_i (A_i B_0 C_l | I)}{\sum\limits_{i,j} (A_i B_j C_l | I)} &= \sum_{i,k} (A_i B_0 C_k | I) \quad , \quad l = 0, 1 \end{align*}$$ $(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.936$

사례 3

$$(A_0 | I) = \frac{1}{2} \quad \quad \text{i.e.} \quad \sum_{j,k} (A_0 B_j C_k | I) = \frac{1}{2}$$ $(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.973$

사례 4

$(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.989$

나는 우리가 전체 인구에서 남녀의 비율을 가정한다면, 명백한 대답이 하나 있다고 믿는다.

A = 사람이 긴 머리를 가진 사건

B = 사람이 혈액형 AX3을 갖는 경우

C = 사람이 여성 인 경우

P (C | A) = 0.9

P (C | B) = 0.8

P (C) = 0.5 (즉, 전체 인구에서 남녀 비율이 같다고 가정하자)

그런 다음 P (C | A 및 B) = [P (C | A) x P (C | B) / P (C)] / [[P (C | A) x P (C | B) / P (C )] + [[1-P (C | A)] x [1-P (C | B)] / [1-P (C)]]]

이 경우 P (C | A 및 B) = 0.972973

참고 : 아래의 답변은 결정적인 답변을 얻기 위해 AX3를 가진 사람, 긴 머리 남자 및 긴 머리 여자의 확률이 거의 동일하다고 가정합니다. 더 많은 정확도가 필요한 경우이를 확인해야합니다.

당신은 사람이 긴 머리카락을 가지고 있다는 지식으로 시작 하므로이 시점에서 확률은 다음과 같습니다.

90:10

참고 : 사람이 긴 머리카락을 발견하면 일반 인구의 남성 대 여성의 비율은 중요하지 않습니다. 예를 들어, 일반 인구에서 백 명의 여성이 1 명인 경우 무작위로 선택한 장발 인은 여전히 ​​90 %의 여성이됩니다. 여성 대 남성의 비율은 중요합니다! (자세한 내용은 아래 업데이트 참조)

다음으로, 우리는 그 사람이 AX3을 가지고 있다는 것을 배웁니다. AX3는 긴 모발과 관련이 없기 때문에 남성 대 여성의 비율은 50:50으로 알려져 있으며, 확률이 동일하다는 가정하에 확률의 양쪽을 곱하고 정규화하여 확률의 측면은 100과 같습니다.

(90:10) * (80:20)
==> 7200:200

    Normalize by dividing each side by (7200+200)/100 = 74

==> 7200/74:200/74
==> 97.297.. : 2.702..

따라서 커튼 뒤에있는 사람이 여성 일 확률은 약 97.297 %입니다.

최신 정보

다음은 문제에 대한 추가 탐색입니다.

정의 :

f - number of females
m - number of males
fl - number of females with long hair
ml - number of males with long hair
fx - number of females with AX3
mx - number of males with AX3
flx - number of females with long hair and AX3
mlx - number of males with long hair and AX3
pfl - probability that a female has long hair
pml - probability that a male has long hair
pfx - probability that a female has AX3
pmx - probability that a male has AX3

먼저, 장발 인의 90 %가 여성이고 AX3를 가진 사람의 80 %가 여성이므로,

fl = 9 * ml
pfl = fl / f
pml = ml / m 
    = fl / (9 * m)

fx = 4 * mx
pfx = fx / f
pmx = mx / m 
    = fx / (4 * m)

AX3의 확률은 성별과 긴 모발과 무관하다고 가정했기 때문에 계산 된 pfx는 긴 모발을 가진 여성에게 적용되며 pmx는 긴 모발을 가진 남성에게 적용하여 AX3이있을 가능성이있는 여성의 수를 찾습니다.

flx = fl * pfx 
    = fl * (fx / f) 
    = (fl * fx) / f
mlx = ml * pmx 
    = (fl / 9) * (fx / (4 * m)) 
    = (fl * fx) / (36 * m)

따라서, 장발 및 AX3을 가진 여성의 수와 장발 및 AX3을 가진 남성의 수의 가능한 비율은 :

flx             :   mlx
(fl * fx) / f   :   (fl * fx) / (36 * m)
1/f             :   1 / (36m)
36m             :   f

동일한 수의 50:50이 제공되므로 양쪽을 취소하고 모든 수컷에게 36 명의 암컷으로 끝낼 수 있습니다. 그렇지 않으면, 지정된 부분 군의 모든 수컷에 대해 36 * m / f 암컷이 있습니다. 예를 들어, 남성보다 여성의 수가 두 배인 경우, 긴 머리와 AX3을 가진 남성의 여성은 각각 72 명입니다.

98 % 여성, 간단한 보간. 첫 번째 전제 90 % 여성, 10 % 출발, 두 번째 전제는 기존 10 %의 2 % 만 떠나므로 98 % 여성