합의 분산이 분산의 합과 같습니까?

62

이 (항상) 사실입니까?

V a r (\sum_{i = 1}^{m} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{m} V a r (X_{i}) ?

$\mathrm{Var}\left(\sum\limits_{i=1}^m{X_i}\right) = \sum\limits_{i=1}^m{\mathrm{Var}(X_i)} \>?$

variance

— 아베
소스

3

아래의 답변은 증거를 제공합니다. 간단한 경우 var (x + y)에서 직관을 볼 수 있습니다. x와 y가 양의 상관 관계가 있으면 둘 다 크거나 작은 경향이있어 전체 변동이 증가합니다. 이들이 음의 상관 관계가 있으면 서로를 취소하는 경향이있어 전체 변동이 줄어 듭니다.

— Assad Ebrahim

91

귀하의 질문에 대한 답변은 "가끔은 아니지만 일반적으로"입니다.

이를 확인하기 위해 은 임의 변수 (유한 분산)입니다. 그때, $X_1, ..., X_n$

v a r (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) - {[E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i})]}^{2}

${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) - \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2$

이제 . 손으로 을 계산할 때 무엇을하고 있는지 생각해보십시오 . 따라서, $(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j$ $(a_1+...+a_n) \cdot (a_1+...+a_n)$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

비슷하게,

{[E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i})]}^{2} = {[\sum_{i = 1}^{n} E (X_{i})]}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i}) E (X_{j})

$\left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2 = \left[ \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i) E(X_j)$

그래서

v a r (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (E (X_{i} X_{j}) - E (X_{i}) E (X_{j})) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} c o v (X_{i}, X_{j})

${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \big( E(X_i X_j)-E(X_i) E(X_j) \big) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j)$

공분산의 정의에 의해.

이제 합의 분산이 분산의 합과 같습니까? :

변수는, 예 상관되지 않은 경우 : 즉, 에 대해 다음 ${\rm cov}(X_i,X_j)=0$ $i\neq j$
$v a r (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} c o v (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} c o v (X_{i}, X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} v a r (X_{i})$ ${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_i) = \sum_{i=1}^{n} {\rm var}(X_i)$
변수가 상관 관계가있는 경우 아니오, 일반적으로 아닙니다 . 예를 들어, 가 각각 및 갖는 두 개의 임의 변수 라고 가정합니다. 여기서 . 그런 다음 이므로 ID가 실패합니다. $X_1, X_2$ $\sigma^2$ ${\rm cov}(X_1,X_2)=\rho$ $0 < \rho <\sigma^2$ ${\rm var}(X_1 + X_2) = 2(\sigma^2 + \rho) \neq 2\sigma^2$
그러나 특정 예에서 가능합니다 . 에 공분산 행렬 그런 다음 $X_1, X_2, X_3$
$(\begin{array}{ccc} 1 & 0.4 & - 0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ - 0.6 & 0.2 & 1 \end{array})$ $\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 &-0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ -0.6 & 0.2 & 1 \\ \end{array} \right)$ ${\rm var}(X_1+X_2+X_3) = 3 = {\rm var}(X_1) + {\rm var}(X_2) + {\rm var}(X_3)$

따라서 변수가 서로 관련이없는 경우 합의 분산은 분산의 합이지만 일반적으로 컨버스는 사실 이 아닙니다 .

— 매크로
소스

공분산 행렬의 예와 관련하여 다음이 정확합니다. 오른쪽 위 삼각형과 왼쪽 아래 삼각형 사이의 대칭은 이지만 대칭 이라는 사실을 반영합니다. 왼쪽 상단과 오른쪽 하단 사이 (이 경우 은 예제의 일부이지만 두 가지 다른 것으로 대체 될 수 있습니다. 해당하는 숫자 , 예 : 및 ? 다시 감사합니다

cov (X_{i}, X_{j}) = cov (X_{j}, X_{i})

$\text{cov}(X_i,X_j)=\text{cov}(X_j,X_i)$

cov (X_{1}, X_{2}) = cov (X_{2}, X_{3}) = 0.3

$\text{cov}(X_1, X_2) = \text{cov}(X_2,X_3) = 0.3$

0.6

$0.6$

cov (X_{1}, X_{2}) = a

$\text{cov}(X_1, X_2) = a$

cov (X_{2}, X, 3) = 0.6 - a

$\text{cov}(X_2,X,3) = 0.6 -a$

— Abe

41

Var (\sum_{i = 1}^{m} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{m} Var (X_{i}) + 2 \sum_{i < j} Cov (X_{i}, X_{j}) .

$\text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^m X_i\bigg) = \sum_{i=1}^m \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i\lt j} \text{Cov}(X_i,X_j).$

따라서 공분산의 평균이 이면 변수가 쌍으로 관련이 없거나 독립적 인 경우 결과의 합은 분산의 합입니다. $0$

이것이 사실이 아닌 예 : Let . 이라고하자 . 그런 다음 입니다. $\text{Var}(X_1)=1$ $X_2 = X_1$ $\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(2X_1)=4$

— 더글러스 자레
소스

표본 분산에 대해서는 거의 해당되지 않습니다.

— DWin

1

@DWin, "희귀"는 과소 평가입니다. 에 연속 분포가있는 경우 합계의 표본 분산이 정확히 0의 표본 분산의 합과 같을 확률은 다음과 같습니다.)

X

$X$

— Macro

15

Macro에서 제공하는보다 간결한 증명 버전을 추가하고 싶었으므로 진행 상황을 쉽게 확인할 수 있습니다. $\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}\newcommand{\Var}{\text{Var}}$

주의 그 이후 $\Var(X) = \Cov(X,X)$

두 개의 임의 변수 대해 다음을 갖습니다. $X,Y$

\begin{aligned} Var (X + Y) & = Cov (X + Y, X + Y) \\ = E ((X + Y)^{2}) - E (X + Y) E (X + Y) \\ by expanding, \\ = E (X^{2}) - (E (X))^{2} + E (Y^{2}) - (E (Y))^{2} + 2 (E (X Y) - E (X) E (Y)) \\ = Var (X) + Var (Y) + 2 (E (X Y)) - E (X) E (Y)) \end{aligned}

$\begin{align} \Var(X+Y) &= \Cov(X+Y,X+Y) \\ &= E((X+Y)^2)-E(X+Y)E(X+Y) \\ &\text{by expanding,} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2 + E(Y^2) - (E(Y))^2 + 2(E(XY) - E(X)E(Y)) \\ &= \Var(X) + \Var(Y) + 2(E(XY)) - E(X)E(Y)) \\ \end{align}$ 따라서 일반적으로 두 랜덤 변수의 합의 분산은 분산의 합이 아닙니다. 그러나 가 독립적이면 이고 입니다.

X, Y

$X,Y$

E (X Y) = E (X) E (Y)

$E(XY) = E(X)E(Y)$

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y)

$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$

간단한 유도 로 랜덤 변수 의 합에 대한 결과를 생성 할 수 있습니다 . $n$

— 오마르 헤크
소스

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예, 의 각 쌍이 서로 관련이없는 경우에 해당됩니다. $X_i$

Wikipedia에 대한 설명을 참조하십시오

— 아베
소스

동의한다. Insight Things에 대한 간단한 설명도 있습니다 .

— Jan Rothkegel