T- 통계량에 정규 분포를 따르기 위해 데이터가 필요한 이유

나는 이 노트를 보고 있었고 , 나는이 진술에 당황했다.

정규성에 대해 이야기 할 때 데이터가 정규 분포와 같아야한다는 의미입니다. 여러 통계 검정 (예 : t- 통계)에 의존하기 때문에 이것은 중요합니다.

T- 통계량이 정규 분포를 따르기 위해 데이터가 필요한 이유를 이해하지 못합니다.

실제로 Wikipedia는 같은 것을 말합니다.

학생의 t- 분포 (또는 간단히 t- 분포)는 정규 분포를 가진 모집단의 평균을 추정 할 때 발생하는 연속 확률 분포 제품군의 구성원입니다.

그러나이 가정이 왜 필요한지 이해하지 못합니다.

공식에서 아무것도 데이터가 정규 분포를 따라야한다는 것을 나타냅니다.

나는 그 정의를 조금 보았지만 왜 조건이 필요한지 이해하지 못한다.

필요한 정보는 Wiki 페이지 의 "Characterization"섹션에 있습니다. 자유 - 분포 정도와 ν는 랜덤 변수의 분포로 정의 될 수있다 T 되도록 T = $t$$\nu$$T$ 여기서, Z는 표준 정규 분포 확률 변수이고, V는 A는 χ (2) 자유 정도 랜덤 변수 ν . 또한 Z 와 V 는 독립적이어야합니다. 따라서 위의 정의를 따르는 Z 와 V 가주어지면 t 분포를 갖는 임의의 변수에 도달 할 수 있습니다.

$$T = \dfrac{Z}{\sqrt{V/\nu}} \,,$$ $Z$$V$$\chi^2$$\nu$$Z$$V$$Z$$V$$t$

이제 이 분포 F 에 따라 분포되어 있다고 가정 합니다. 하자 F는 평균이 μ 이고 분산이 σ 2 . 하자 ˉ는 X 샘플 평균하고 S 2는 표본 분산합니다. 그런 다음 공식을 살펴 보겠습니다.$X_1, X_2, \dots, X_n$$F$$F$$\mu$$\sigma^2$$\bar{X}$$S^2$

$$\dfrac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} = \dfrac{\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{(n-1)\sigma^2}}} \,.$$

$F$$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$$\bar{X}$$S^2$$t$$n-1$

$F$$\chi^2$$t$

통계와 공식, 분포와 공식 사이에 약간의 혼동이있을 수 있습니다. t- 통계량 공식을 모든 데이터 세트에 적용하고 "t- 통계량"을 얻을 수 있지만,이 통계량은 데이터가 정규 분포에서 나온 경우가 아니면 학생 -t 분포에 따라 분포되지 않습니다. t- 통계 공식이 적용될 때 비정규 분포는 학생 t 분포를 생성하지 않지만 확실하지는 않습니다.) 그 이유는 t- 통계량의 분포가이를 생성 한 데이터의 분포로부터 계산되기 때문에 기본 분포가 다른 경우 파생 된 통계에 대해 동일한 분포를 보장 할 수 없습니다.