상관 행렬의 SVD는 부가 적이어야하지만 그렇지 않은 것으로 보인다

방금 다음 논문 인 Gene Expression Data에서 상관 관계있는 Biclusters 찾기 에 대한 주장을 복제하려고합니다 .

법안 4. . 우리는 :$X_{IJ}=R_{I}C^{T}_{J}$

나는. 경우 첨가제 모델과 완벽한 bicluster는 다음 열에 대한 상관 관계와 완벽한 bicluster이다; ii. 경우 첨가제 모델과 완벽한 bicluster는 다음 X_ {IJ는} 행에 대한 상관 관계와 완벽한 bicluster이다; iii. R_I 와 C_J 가 모두 가산 모델을 가진 완벽한 biclusters라면 X_ {IJ} 는 완벽한 상관 bicluster입니다.$R_{I}$$X_{IJ}$
$C_J$$X_{IJ}$
$R_I$$C_J$$X_{IJ}$

이러한 제안은 쉽게 입증 될 수 있습니다 ...

...하지만 물론 증명하지는 않습니다.

나는이 제안을 입증 할 수 있는지 확인하기 위해 종이 + 기본 + 사용자 정의 R 코드의 간단한 예제 중 일부를 사용하고 있습니다.

corbic <- matrix(c(0,4,-4,2,2,-2,6,0,4,-8,16,-2,-2,10,-14,4), ncol=4)

(표 1F부터)

논문에 설명 된대로 표준 X = $UdV^T$ svd 형식을 $X=RC^{T}$ 로 변환하는 일부 사용자 지정 코드 :

svdToRC <- function(x, ignoreRank = FALSE, r = length(x$d), zerothresh=1e-9) {
#convert standard SVD decomposed matrices UEV' to RC' form
#x -> output of svd(M)
#r -> rank of matrix (defaults to length of singular values vector)
            # but really is the number of non-zero singular values
#ignoreRank -> return the full decomposition (ignore zero singular values)
#zerothresh -> how small is zero?

    R <- with(x, t(t(u) * sqrt(d)))
    C <- with(x, t(t(v) * sqrt(d)))

    if (!ignoreRank) {
        ind <- which(x$d >= zerothresh)
    } else {
        ind <- 1:r
    }

    return(list(R=as.matrix(R[,ind]), C=as.matrix(C[,ind])))
}

이 함수를 데이터 세트에 적용하십시오.

 > svdToRC(svd(corbic))
$R
           [,1]       [,2]
[1,]  0.8727254 -0.9497284
[2,] -2.5789775 -1.1784221
[3,]  4.3244283 -0.7210346
[4,] -0.8531261 -1.0640752

$C
          [,1]       [,2]
[1,] -1.092343 -1.0037767
[2,]  1.223860 -0.9812343
[3,]  3.540063 -0.9586919
[4,] -3.408546 -1.0263191

환각을 일으키지 않는 한,이 매트릭스는 비록 피질이 행과 열 사이의 완벽한 상관 관계를 나타내더라도 부가 적이 지 않습니다. 그들이 제공하는 예제가 그들이 말한 속성을 나타내는 것이 이상하게 보입니다 ... 내가 svd 또는 post svd 변환 단계를 놓치지 않는 한?

이 기사에서 'bicluster'는 행렬 의 하위 집합 , "열의 하위 집합에서 유사한 동작을 나타내는 행의 하위 집합 또는 그 반대로"를 나타냅니다. biclusters의 식별은 일반적으로 데이터 마이닝 알고리즘에서 수행됩니다. 저자는 이러한 하위 집합을 식별하는 데 사용 된 이전 모델과 다른 새로운 '상관 된 bicluster 모델'을 제안하고 있습니다. 나는 유전학에 대해서는 아무것도 몰랐지만 여기의 혼란은 분명하고 두 가지 원인에서 비롯된 것 같습니다.

1. '첨가제'라는 단어 사용

이 논문에는 함수의 출력에 주어진 두 행렬이 '가산 적'이어야 함을 암시하는 것은 없습니다. 저자는 이런 의미에서 첨가제라는 단어를 사용하지 않습니다. 그들은 첨가제 모델로 "각 행 또는 열을 다른 행 또는 열에 상수를 추가하여 얻을 수있는"bicluster를 얻는 것을 말합니다.

2. 잘못된 제안 4.3

$R_I$$C_J$$X_{IJ}$$X_{IJ}$$R_I$$C_J$$R_I$$C_J$ 반대로 가산 적이거나 가산 성 모델에 적합해야합니다.

* 또한 예시 데이터는 문제에서 논의 된 제안과 완전히 다른 섹션의 논문에서 나온 것입니다.