Matérn 공분산 함수의 이론적 근거는 무엇입니까?

Matérn 공분산 함수는 일반적으로 가우시안 프로세스에서 커널 함수로 사용됩니다. 이렇게 정의되어 있습니다

$${\displaystyle C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}{\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}^{\nu }K_{\nu }{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}}$$

여기서 $d$ 는 거리 함수 (예 : 유클리드 거리), $\Gamma$ 는 감마 함수, $K_\nu$ 는 수정 된 제 2 종 베셀 함수, $\rho$ 및 $\nu$ 는 양수 매개 변수입니다. $\nu$ 는 3 으로 선택된 많은 시간입니다$\frac{3}{2}$ 또는$\frac{5}{2}$실제로 2 입니다.

이 커널은 표준 가우시안 커널보다 '부드럽 지 않기'때문에 더 잘 작동하지만 그 외에는이 커널을 선호하는 다른 이유가 있습니까? 그것이 어떻게 동작하는지에 대한 기하학적 직관이나 겉보기에 복잡한 공식에 대한 설명은 높이 평가 될 것입니다.

@DahnJahn 좋은 답변 외에도 Bessel 및 감마 기능의 출처에 대해 조금 더 이야기하려고 생각했습니다. 공분산 함수에 도달하기위한 시작점은 Bochner 정리입니다.

정리 (Bochner) 연속 고정 함수 $k(x, y) = \widetilde{k}(|x − y|)$ 한정된 양의 경우에만, $\widetilde{k}$ 푸리에 한정된 양의 측정 변환된다

$$\widetilde{k}(t) = \int_{\mathbb{R}} e^{−iωt}dµ(ω)$$

이것으로부터 Matérn 공분산 행렬이 1의 푸리에 변환으로 도출 된 것으로 추론 할 수 있습니다$\frac{1}{(1+\omega^2)^p}$ (소스) . 그것은 모두 좋지만 실제로 당신이 주어진이 유한 한 긍정적 인 척도에 어떻게 도달하는지 알려주지 않습니다 . 그것은 확률 론적 과정의 (힘) 스펙트럼 밀도입니다.$\frac{1}{(1+\omega^2)^p}$.$f(x)$

어떤 확률 적 프로세스? Matérn 공분산 함수를 사용하는 의 랜덤 프로세스 는 확률 적 부분 미분 방정식 (SPDE) ( κ 2 − ∆ ) α / 2 X ( s ) = φ W ( s ) 에 대한 해입니다. 여기서 W ( s) ) 는 단위 분산, Δ = d ∑ i = 1 인 가우스 백색 잡음입니다.$\mathbb{R}^d$

$$(κ^2 − ∆)^{α/2} X(s) = φW(s),$$ $W(s)$ 는 Laplace 연산자이고α=ν+d/2입니다(이것은Cressie and Wikle입니다). $$\Delta = \sum_{i=1}^d \frac{\partial^2}{\partial x^2_i}$$ $α =ν + d/2$

왜이 특정 SPDE / 스토 차 스틱 프로세스를 선택해야합니까? 기원은 공간 통계에 있으며 에서 가장 잘 작동하는 가장 단순하고 자연스러운 공분산이라고 주장합니다 .$\mathbb{R}^2$

지수 상관 함수는 Markov 프로세스에 해당하기 때문에 1 차원의 자연 상관 관계입니다. 지수는 지리 통계 작업에서 일반적인 상관 함수이지만 2 차원에서는 더 이상 그렇지 않습니다. Whittle (1954)은 Laplace 유형의 확률 미분 방정식에 해당하는 상관 관계를 결정했습니다.

여기서

$$\left[ \left(\frac{\partial}{\partial t_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial}{\partial t_2}\right)^2 - \kappa^2 \right] X(t_1, t_2) = \epsilon(t_1 , t_2)$$ 는 백색 잡음입니다. 해당 이산 격자 프로세스는 2 차 자동 회귀입니다. (출처)$\epsilon$

Matern 방정식과 관련된 SDE에 포함 된 공정 군에는 Brownian 운동을받는 입자의 속도에 대한 Ornstein-Uhlenbeck 모델이 포함됩니다. 더 일반적으로, 모든 정수에 대해 A R ( p ) 프로세스 계열에 대한 전력 스펙트럼을 정의 할 수$AR(1)$$AR(p)$Matérn 계열 공분산이있는 p에. 이것은 Rasmussen과 Williams의 부록에 있습니다.$p$

이 공분산 함수는 Matérn 클러스터 프로세스와 관련이 없습니다.

참고 문헌

Cressie, Noel 및 Christopher K. Wikle. 시공간 데이터에 대한 통계. 존 와일리 & 아들, 2015.

Guttorp, Peter 및 Tilmann Gneiting. "확률과 통계의 역사에 관한 연구들 XLIX On the Matern correlation family." Biometrika 93.4 (2006) : 989-995.

Rasmussen, CE 및 Williams, 기계 학습을위한 CKI 가우스 프로세스. MIT Press, 2006.

나는 모른다. 그러나 나는이 질문이 매우 흥미로웠다는 것을 알았다. 그리고 여기에 약간의 독서 후에 얻은 것이있다.

$\nu$$\nu = 5/2$

$$C_{5/2}(d) = \sigma^2\left(1 + \frac{\sqrt 5 d}{\rho} + \frac{5d^2}{3\rho^2} \right) \exp \left(- \frac{\sqrt 5 d}{\rho}\right)$$ $\nu \to \infty$$C_\nu$ $$\lim_{\nu \to \infty} C_\nu(d) = \sigma^2 \exp \left( -\frac{d^2}{2\rho^2}\right)$$ $\nu = 1/2$ $$C_{1/2}(d) = \sigma^2 \exp\left( -\frac{d}{\rho} \right)$$

$\nu$$\lceil \nu \rceil -1$ 합니다.

이것은 Rasmussen & Williams (2006) 에서 찍은 사진에서 아주 잘 입증되었습니다.

에서는 공간 데이터 보간 (실제로 Matérn 공분산 함수의 이름을 제안) 스테인 주장 (PG. 30) 가우시안 공분산 함수의 무한한 미분 가능성은 단지 작은 연속 부분을 관찰하기 때문에, 물리적 인 처리를위한 비현실적인 결과를 얻을 수 있다는 공간 / 시간은 이론적으로 전체 기능을 산출해야합니다. 따라서 그는 물리적 프로세스를보다 현실적으로 일치시킬 수있는 일반화로 Matérn 버전을 제안했습니다.

요약

$\nu$ ) 있습니다.

$\nu$