3 개의 벡터가 모두 음의 쌍별 상관 관계를 가질 수 있습니까?

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세 개의 벡터 , 및 가 주어지면 와 , , , 와 사이 상관 관계 가 모두 음수 일 수 있습니까? 즉, 이것이 가능합니까? $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $a$ $c$ $b$ $c$

\begin{aligned} corr (a, b) < 0 \\ corr (a, c) < 0 \\ corr (b, c) < 0 \end{aligned}

$\begin{align} \text{corr}(a,b) < 0\\ \text{corr}(a,c) < 0 \\ \text{corr}(b,c) < 0\\ \end{align}$

correlation correlation-matrix

— 안티 A
소스

3

음의 상관 관계는 기하학적으로 중심 벡터가 서로 둔각을 이루는 것을 의미합니다. 이 속성을 가진 평면에 세 개의 벡터 구성을 그리는 데 아무런 문제가 없습니다.

— whuber

(그들은 완전히 음의 상관 관계를 할 수없는

다시 다른 상관 관계가 설정 한 범위, 부정적인 상관 관계가있을 수있다), 그러나 일반적으로.

ρ = - 1

$\rho=-1$

— karakfa

2

@whuber 귀하의 의견은 Heikki Pulkkinen의 답변과 모순되는 것 같습니다. 비행기의 벡터에서는 불가능하다고 주장합니다. 당신이 그것에 견딜 경우, 당신은 당신의 의견을 답변으로 바꿔야합니다.

— RM

2

@RM whuber와 Heikki 사이에는 모순이 없습니다. 이 질문은

크기 의 데이터 행렬

에 대해 묻습니다 . 일반적으로 우리는 3 차원에서

데이터 포인트에 대해 이야기 하지만,이 Q는

차원 에서 3 개의 "벡터"에 대해 이야기하고 있습니다. Heikki는

경우 모든 음의 상관 관계가 발생할 수 없다고 말합니다 (실제로 센터링 후 두 점은 완벽하게 상관 관계가 있으므로 상관 관계는

이어야 하고 모두

수는 없습니다 ). Whuber는

차원의 3 개 벡터 가 2 차원 부분 공간 (즉,

효과적으로 위치 할 수 있다고 말한다.

X

$X$

n \times 3

$n\times 3$

n

$n$

n

$n$

n = 2

$n=2$

\pm 1

$\pm 1$

- 1

$-1$

n

$n$

X

$X$ 순위 2)이며 메르세데스 로고를 상상해보십시오.

— amoeba는 Reinstate Monica

1

관련 : 세 가지 확률 변수의 상관 관계에 대한 바인딩 . (cc, @amoeba)

— gung-Reinstate Monica

19

벡터의 크기가 3 이상이면 가능합니다. 예를 들어

\begin{aligned} a & = (- 1, 1, 1) \\ b & = (1, - 9, - 3) \\ c & = (2, 3, - 1) \end{aligned}

$\begin{align} a &= (-1, 1, 1)\\ b &= (1, -9, -3)\\ c &= (2, 3, -1)\\ \end{align}$

상관 관계는

cor (a, b) = - 0.80... cor (a, c) = - 0.27... cor (b, c) = - 0.34...

$\begin{equation} \text{cor}(a,b) = -0.80...\\ \text{cor}(a,c) = -0.27...\\ \text{cor}(b,c) = -0.34... \end{equation}$

크기가 2 인 벡터의 경우 이것이 불가능하다는 것을 증명할 수 있습니다 :

\begin{aligned} cor (a, b) & < 0 \\ 2 (\sum_{i} a_{i} b_{i}) - (\sum_{i} a_{i}) (\sum_{i} b_{i}) & < 0 \\ 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - (a_{1} + a_{2}) (b_{1} b_{2}) & < 0 \\ 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - (a_{1} + a_{2}) (b_{1} b_{2}) & < 0 \\ 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - a_{1} b_{1} + a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{2} b_{2} & < 0 \\ a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} - a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} & < 0 \\ a_{1} (b_{1} - b_{2}) + a_{2} (b_{2} - b_{1}) & < 0 \\ (a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{2}) & < 0 \end{aligned}

$\begin{align} \text{cor}(a,b) &< 0\\[5pt] 2\Big(\sum_i a_i b_i\Big) - \Big(\sum_i a_i\Big)\Big(\sum_i b_i\Big) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_2 b_2 &< 0\\[5pt] a_1 b_1 + a_2 b_2 - a_1 b_2 + a_2 b_1 &< 0\\[5pt] a_1 (b_1-b_2) + a_2 (b_2-b_1) &< 0\\[5pt] (a_1-a_2)(b_1-b_2) &< 0 \end{align}$

The formula makes sense: if $a_1$ is larger than $a_2$ , $b_1$ has to be larger than $b_1$ to make the correlation negative.

Similarly for correlations between (a,c) and (b,c) we get

(a_{1} - a_{2}) (c_{1} - c_{2}) < 0 (b_{1} - b_{2}) (c_{1} - c_{2}) < 0

$\begin{equation} (a_1-a_2)(c_1-c_2) < 0\\ (b_1-b_2)(c_1-c_2) < 0\\ \end{equation}$

Clearly, all of these three formulas can not hold in the same time.

— Heikki Pulkkinen
소스

3

Another example of something unexpected that only happens in dimension three or higher.

— nth

1

With vectors of size

2

$2$ , correlations are usually

\pm 1

$\pm1$ (straight line through two points), and you cannot have three correlations of

- 1

$-1$ with three vectors of any size

— Henry

9

Yes, they can.

Suppose you have a multivariate normal distribution $X\in R^3, X\sim N(0,\Sigma)$ . The only restriction on $\Sigma$ is that it has to be positive semi-definite.

So take the following example $\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & -0.2 & -0.2 \\ -0.2 & 1 & -0.2 \\ -0.2 & -0.2 & 1 \end{pmatrix}$

Its eigenvalues are all positive (1.2, 1.2, 0.6), and you can create vectors with negative correlation.

— Kozolovska
소스

7

let's start with a correlation matrix for 3 variables

$\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & p & q \\ p & 1 & r \\ q & r & 1 \end{pmatrix}$

non-negative definiteness creates constraints for pairwise correlations $p,q,r$ which can be written as

p q r \geq \frac{p^{2} + q^{2} + r^{2} - 1}{2}

$pqr \ge \frac{p^2+q^2+r^2-1}2$

For example, if $p=q=-1$ , the values of $r$ is restricted by $2r \ge r^2+1$ , which forces $r=1$ . On the other hand if $p=q=-\frac12$ , $r$ can be within $\frac{2 \pm \sqrt{3}}4$ range.

Answering the interesting follow up question by @amoeba: "what is the lowest possible correlation that all three pairs can simultaneously have?"

Let $p=q=r=x < 0$ , Find the smallest root of $2x^3-3x^2+1$ , which will give you $-\frac12$ . Perhaps not surprising for some.

A stronger argument can be made if one of the correlations, say $r=-1$ . From the same equation $-2pq \ge p^2+q^2$ , we can deduce that $p=-q$ . Therefore if two correlations are $-1$ , third one should be $1$ .

— karakfa
소스

2

See stats.stackexchange.com/questions/72790/…, inter alia.

— whuber

2

A simple R function to explore this:

f <- function(n,trials = 10000){
  count <- 0
  for(i in 1:trials){
    a <- runif(n)
    b <- runif(n)
    c <- runif(n)
    if(cor(a,b) < 0 & cor(a,c) < 0 & cor(b,c) < 0){
      count <- count + 1
    }
  }
  count/trials
}

의 함수는 0 n에서 f(n)시작하여 0이 아닌 n = 3값 (일반 값은 약 0.06)으로 증가한 다음 약 0.11로 증가한 n = 15후 안정화됩니다.

따라서 세 가지 상관 관계를 모두 음수로 만들 수있을뿐만 아니라 (적어도 균일 한 분포의 경우)별로 드문 일은 아닙니다.

— 존 콜먼
소스