병렬 저항의 변화

10

저항 세트 R이 있고 모든 평균이 평균 μ 및 분산 σ로 분포되어 있다고 가정합니다.

다음과 같은 레이아웃의 회로 부분을 고려하십시오. (r) || (r + r) || (r + r + r). 각 부품의 등가 저항은 r, 2r 및 3r입니다. 각 섹션의 분산은 $σ^2$ , $2σ^2$ , $3σ^2$ 입니다.

전체 회로의 저항 차이는 무엇입니까?

수백만 점을 샘플링 한 후 분산이 대략 임을 알 수 $.10286\sigma^2$ 있습니다.

우리는 어떻게이 결론에 분석적으로 도달 할 것입니까?

편집 : 저항 값은 일부 평균 저항 r 및 분산 와 함께 정규 분포로 가정됩니다 $σ^2$ .

probability sampling variance

— 안드로이드
소스

1

나는 이것이 시작하기에 적합한 모델이라고 확신하지 못한다. Nyquist-Johnson 열 회로 노이즈 이론 에 익숙 하십니까? 의도적으로 다른 일을하고 있다면 동기 부여를 보는 것이 흥미로울 것입니다. 그렇지 않으면 더 표준적인 모델을 고려해 볼 가치가 있습니다. :)

— 추기경

네, 제가 답을 쓰려고 노력하는 동안, 모델이 제시된대로 다루기 힘들다는 것을 깨달았습니다. 그러나 나는 이것이 실제적인 문제가 아니라 학문적 문제라고 생각했습니다 (결국 시뮬레이션을하고 있습니다).

— Néstor

시그마를 분산으로 사용하는 것에 대한 사과는 원래 VAR을 사용했으며 누군가가 시그마를 편집했습니다.

— lrAndroid

업데이트 해 주셔서 감사합니다. 나는 당신이 당신의 질문에 약간을 기꺼이 추가하고 싶다면이 질문의 동기에 여전히 관심이 있습니다. :)

— 추기경

9

전체 회로 의 등가 저항 은 우리는 라고 가정합니다. 독립된 임의의 변수 에 대해 중심이 있고 분산이 입니다. $R$

\frac{1}{R} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{R_{i}} .

$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$

R_{i} = i μ + σ \sqrt{i} Z_{i}

$R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$

Z_{i}

$Z_i$

1

$1$

추가 지시가 없으면 의 분산을 계산할 수 없으므로 더 나아 가기 위해 정권을 고려합니다 그런 다음 이므로 에서 하나는보고 또한 따라서 한도 $R$

σ ≪ μ .

$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$

\frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{i μ} - \frac{σ}{μ^{2}} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} + higher order terms,

$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$

\frac{1}{R} = \frac{a}{μ} - \frac{σ}{μ^{2}} Z + higher order terms,

$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$

a = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i} = \frac{11}{6}, Z = \sum_{i = 1}^{3} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} .

$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$

E (Z) = 0, E (Z^{2}) = b, b = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i^{3}} = \frac{251}{216} .

$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$

R = \frac{μ}{a} - \frac{σ}{a^{2}} Z + higher order terms,

$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$

σ \to 0

$\sigma\to0$ , 및 이러한 의 및 은 병렬로 여러 개의 저항으로 일반화 할 수 있습니다. 각 저항 은 기본 저항 의 결과이며 , 기본 저항은 독립적이며 각각 평균 및 분산 . 그런 다음 이면 여기서

E (R) \approx \frac{μ}{a} = \frac{6}{11} μ,

$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$

Var (R) \approx σ^{2} \cdot \frac{b}{a^{4}} = σ^{2} \cdot {(\frac{6}{11})}^{4} \cdot \frac{251}{216} = σ^{2} \cdot 0.10286 \dots

$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$

E (R)

$\mathrm E(R)$

Var (R)

$\text{Var}(R)$

n_{i}

$n_i$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ \to 0

$\sigma\to0$

E (R) \to \frac{μ}{a}, σ^{- 2} Var (R) \to \frac{b}{a^{4}},

$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$

a = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}}, b = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}^{3}} .

$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$

— 했어
소스

8

정확한 대답은 및 에만 달려 있다고 생각하지 않습니다 . 표본을 추출 할 때 구체적 분포 (정규 분포)를 사용해야한다고 가정합니다. 어쨌든 우리는 선형 근사치로 회로 저항의 평균 및 분산을 계산할 수 있으며 정확한 분포 형태는 관련이 없습니다. $\mu$ $\sigma^2$

회로의 저항은 입니다. 선형 근사에서 평균 및 분산 랜덤 변수의 역수의 평균과 분산은 각각 및 입니다. 따라서 우리는 평균 , 및 와 분산 , 및 는 각각 평균 및 분산 $\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$ $\mu$ $\sigma^2$ $1/\mu$ $\sigma^2/\mu^4$ $1/\mu$ $1/(2\mu)$ $1/(3\mu)$ $\sigma^2/\mu^4$ $\sigma^2/(8\mu^4)$ $\sigma^2/(27\mu^4)$ $\frac{11}6/\mu$ $\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$ . 그 역수를 취하면 평균 와 분산 결과와 일치하여 . $\frac6{11}\mu$ $\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

— 요르 키키
소스

물론 이것은 저항이 독립적 인 랜덤 변수라고 가정합니다.

@Robert : 그렇습니다. 그것은 문제의 분산 , 및 계산에서 이미 가정되었으며 물리적 의미가 있습니다 (동일한 배치에서 모든 저항을 가져가더라도 저항은 다소 상관 관계가 있습니다) ).

σ

$\sigma$

2 σ

$2\sigma$

3 σ

$3\sigma$

— joriki

실제 설계에서 저항은 독립적 인 RV와는 거리가 멀다. 실제로, 일부 요소 그룹이 서로를 추적하도록하기 위해 많은 작업이 레이아웃으로 진행됩니다 (당연히``일치 ''라고 함).

1

당신이 사용하고 ? 나는 이것을 라고 쓰는 데 더 익숙합니다 .

σ = E (X - E X)^{2}

$\sigma = E (X-EX)^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

@ copper.hat : 물론 당신은 에 대해 옳 습니다-나는 생각없이 질문에 사용 된 표기법을 채택했습니다.

σ^{2}

$\sigma^2$

— joriki

5

이것은 저항 분포의 모양에 따라 다릅니다. 분포를 모르면 평균 저항조차 말할 수 없지만 제약이 있다고 생각합니다.

그래서, 가시적 인 인 분포를 선택하자하자 하나 개의 저항의 저항의 표준 편차합니다. 저항을 로 설정하고 각 부호는 확률 발생 합니다. 이것은 우리에게 고려할 건, 또는 만약 우리가 어떤 경우들을 결합한다면 . 물론 우리는 저항이 독립적이라고 가정합니다. $s$ $\mu \pm s$ $1/2$ $2^6 = 64$ $2 \times 3 \times 4=24$

우리가 선택하면 및 평균은 다음 (약간보다 낮은 ) 및 분산은 . 우리가 선택하는 경우 및 , 그 차이는 . $\mu = 100$ $s=1$ $54.543291$ $100 \times \frac{6}{11}$ $0.102864$ $\mu = 5$ $s=1$ $0.103693$

평균이 이고 분산이 때 분산 간의 비율에 대한 거듭 제곱 확장은 다음과 같습니다 . . 가 작을 때 , 지배적 인 항은 입니다. $1$ $x$ $\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$ $x$ $\frac{1506}{14641} = 0.102862$

기술적으로 묻는 질문은 분포에 의존하지만 표준 편차가 평균과 비교하여 작은 상황에 관심이있을 수 있으며 분포에 의존하지 않는 잘 정의 된 한계가 있다고 생각합니다. 각 부품의 저항 함수로 회로 저항의 의존성을 선형화하십시오.

C = \frac{1}{1 / R_{1} + 1 / (R_{2} + R_{3}) + 1 / (R_{4} + R_{5} + R_{6})}

$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$

\approx \frac{6}{11} μ + \sum_{i = 1}^{6} (R_{i} - μ) \frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ)

$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$

∴ Var (C) \approx \sum_{i = 1}^{6} Var (R_{i}) (\frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ))^{2}

$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$

이 특정 회로에서 축척 된 부분 도함수는 및 $\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

(\frac{36}{121})^{2} + 2 (\frac{9}{121})^{2} + 3 (\frac{4}{121})^{2} = \frac{1506}{14641} = 0.102862

$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$

— 더글러스 자레
소스

1

이 다변량 델타 정리 즉 생각 나게 평균 갖는다 및 분산 각각 다음 은 , 여기서 및 . 최종 답변은 @Douglas Zare 및 OP와 동일하며 0.1028 입니다.

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1,R_2,R_3$

μ, 2 μ, 3 μ

$\mu,2\mu,3\mu$

σ^{2}, 2 σ^{2}, 3 σ^{2}

$\sigma^2, 2\sigma^2, 3\sigma^2$

g (R_{1}, R_{2}, R_{3}) = ((1 / R_{1}) + (1 / R_{2}) + (1 / R_{3}))^{- 1}

$g(R_1,R_2,R_3) = ((1/R_1)+(1/R_2)+(1/R_3))^{-1}$

\nabla g (μ) Σ \nabla g (μ)^{'}

$\nabla g(\mu)\Sigma\nabla g(\mu)'$

\nabla g (μ) = (\frac{36}{121}, \frac{9}{121}, \frac{4}{121})

$\nabla g(\mu) = (\frac{36}{121},\frac{9}{121},\frac{4}{121})$

Σ = \[(\begin{array}{ccc} . σ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 σ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 σ^{2} \end{array}) \]

$\Sigma = \[ \left( \begin{array}{ccc}. \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\sigma^2 \end{array} \right)\]$

σ^{2}

$\sigma^2$

— VitalStatistix

1

나는 내가 추론했을 때, 이것은 긴 대답 이지만, 누군가 내 시도에서 더 나은 것을 얻을 수 있다고 경고합니다 (최적의 것이 아닐 수도 있음). 또한, 원래의 OPs 질문을 잘못 읽고 저항이 정상적으로 분포되어 있다고 생각했습니다. 어쨌든 대답을 남겨 두 겠지만 그것은 근본적인 가정입니다.

1. 문제의 물리적 추론

내 추론은 다음과 같습니다. 병렬로되어있는 저항의 경우 등가 저항 이 다음과 같이 주어집니다. $R_{eq}$

R_{e q}^{- 1} = \sum_{i}^{N} \frac{1}{R_{i}},

$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$

여기서 는 회로의 각 부분의 저항입니다. 당신의 경우에, 이것은 우리를 제공합니다 $R_i$

R_{e q} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1}, (*)

$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$ 여기서 은 저항이 1 인 회로의 일부이므로 평균 및 분산 갖는 정규 분포를 가지며 , 같은 이유로 는 2 개의 저항을 갖는 회로 부분의 등가 저항, 마지막으로 는 3 개의 저항을 갖는 회로 부분의 등가 저항입니다. 의 분포를 찾아서 분산을 구해야합니다.

R_{1}

$R_1$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

R_{2} \sim N (2 μ, 2 σ^{2})

$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$

R_{3} \sim N (3 μ, 3 σ^{2})

$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$

R_{e q}

$R_{eq}$

2. 의 분포 구하기 $R_{eq}$

분포를 찾는 한 가지 방법은 다음과 같습니다. 여기에서 (베이 즈 정리를 통해 획득 함). , 및 (물리적으로 그럴듯 함) 간의 독립성 을 이것을 에서 대체 하고 세 저항 사이의 독립의 또 다른 결과는

p (R_{e q}) = \int p (R_{e q}, R_{1}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} . (1)

$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3})

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$

R_{1}

$R_1$

R_{2}

$R_2$

R_{3}

$R_3$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) .

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$

(1)

$(1)$

p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{1} | R_{e q})

$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$ 우리가 얻을 : 마지막 문제는 , 즉 rv 의 분포 를 찾는 것 입니다. . 이 문제는 우리가 여기에있는 것과 유사하다, 당신은 대체 지금을 제외시켰다 EQ에. 라는 상수로 . 위와 동일한 인수를 따르면 분명히 나머지는 조금 문제를 제외한 공지 분포 대체 : 분포 얻을 수있다 것을주의하여

p (R_{e q}) = \int p (R_{1} | R_{e q}) p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{3} . (2)

$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$

p (R_{e q} | R_{3})

$p(R_{eq}|R_3)$

R_{e q} | R_{3}

$R_{eq}|R_3$

R_{3}

$R_3$

(*)

$(*)$

r_{3}

$r_3$

p (R_{e q} | R_{3}) = \int p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) p (R_{2}) d R_{2} . (3)

$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

(*)

$(*)$

X_{1}

$X_1$ 은 가우시안이므로 기본적으로 랜덤 변수 의 분포를 찾아야합니다 여기서 와 는 상수입니다. 그리고 는 평균 및 분산 가우스입니다 . 계산이 올 바르면이 분포는 여기서 이므로 의 분포는

W = {(\frac{1}{X} + a + b)}^{- 1},

$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

p (W) = \frac{1}{[1 - W (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (W) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$

X (W) = \frac{1}{W^{- 1} - a - b},

$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) = \frac{1}{[1 - R_{e q} (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (R_{e q}) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$ 여기서 및 입니다. 문제는 방정식 의 적분을 풀기 위해 이것이 분석적으로 다루기 쉬운 지 모른다는 것입니다. 그러면 우리는 방정식 의 결과를 대체하여 poblem을 해결할 것 입니다. 적어도 밤에는이 시간이 아닙니다.

a = 1 / R_{2}

$a=1/R_2$

b = 1 / R_{3}

$b=1/R_3$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$

— 네스터
소스

저항이 음수 일 수는 없지만 정규 분포를 가정하고 있습니까? 내 생각에 이것이 회로의 분산을 분기시킬 것입니다.

— Douglas Zare

1

나도 알아 차 렸지만 실제로는 및 의 값에 따라 달라집니다 . 만약 과 , 우리가 할 수있는 "저장"모델. 정상적인 조건에서는 저항의 분산이 그리 높지 않으므로 마지막 가정이 명확하게 충족됩니다. 이것은 사람들이 높이를 일반적인 랜덤 변수로 모델링 할 때 처음에 나를 귀찮게 한 것이었지만 여기에 준 것과 같은 이유로 Stack-exchange의 일부 사람들은 나를 기분이 좋게했습니다 :-).

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ >> 0

$\mu>>0$

μ >> σ

$\mu>>\sigma$

— Néstor

흠, 나는 평소 모델링 높이가 너무 나빠서 분명히 정상이 아닌 분포의 예로서 사용한다고 생각합니다. 동일한 유전 적 배경을 가진 건강한 성인 남성 인구가 있다면 끔찍하지 않을 것이라고 생각합니다. 그러나 나는 생물 학자에게 이것이 괜찮다는 것을 듣고 싶습니다. 내가 각 뼈의 크기가 독립적이라는 것을 너무 자주 들었던 이유는 완전히 말도 안됩니다.

— Douglas Zare

나는 저항이 정상적으로 분포되어 있지 않다는 것을 깨달았습니다.

— Néstor