모멘트 생성 기능 및 분산의 존재

유한 평균 및 무한 분산을 갖는 분포에 모멘트 생성 기능이있을 수 있습니까? 유한 평균 및 유한 분산이지만 무한한 더 높은 모멘트를 갖는 분포는 어떻습니까?

variance moments mgf

— Mgf
소스

힌트 : mgf가 0 주위 의 간격 으로 존재하는 경우, 대해 이라고 말하면 의 Taylor 확장 및 적분의 단 고려하여 해 를 . :)

(- t_{0}, t_{0})

$(-t_0,t_0)$

t_{0} > 0

$t_0 > 0$

e^{x}

$e^x$

— 추기경

수렴 문제를 무시하고 (mgf를 공식적인 힘 시리즈로만 생각) 순간이 존재하지 않으면 mgf는 어떻게 될 수 있습니까?

— whuber

추기경 당신이 제공 한 제안에 대해 몇 가지 참조를 해주시겠습니까?

이 질문은 모멘트 생성 함수 ( mgf ) 에 대한 몇 가지 사실을 수집 할 수있는 좋은 기회를 제공합니다 .

아래 답변에서 우리는 다음을 수행합니다.

mgf가 하나 이상의 (엄격한) 양수 값 과 하나의 음수 값에 대해 유한 한 경우 모든 양수 모멘트 가 유한함을 나타냅니다 (비 적분 모멘트 포함). $X$
위의 첫 번째 항목의 조건 이 지수 적으로 제한된 꼬리를 갖는 의 분포와 동일하다는 것을 증명하십시오 . 다시 말해, 의 꼬리는 적어도 지수 랜덤 변수 의 꼬리 만큼 빠릅니다 (최대 상수). $X$ $X$ $Z$
항목 1의 조건을 만족하는 경우 mgf로 분포의 특성을 간단히 설명하십시오.
직관에 도움이되는 일부 예와 반례를 살펴보고 특히 mgf의 유한 부족에 대해 지나치게 중요하지 않아야한다는 것을 보여줍니다.

이 답변은 매우 길어서 미리 사과드립니다. 예를 들어 블로그 게시물 또는 다른 곳에서이 방법을 사용하는 것이 더 좋으면 의견에 자유롭게 의견을 보내주십시오.

mgf는 순간에 대해 무엇을 말합니까?

확률 변수의 MGF는 로 정의된다 . 참고 는 항상 존재 가 나오지 측정 함수의 적분이기 때문에한다. 그러나 유한 하지 않을 수 있습니다 . 이 경우 입니다 모든 후, (오른쪽 장소에서) 유한 (반드시 정수), 절대 순간 그래서, 또한 (그리고, 있다 한정된). 이것이 다음 제안의 주제입니다. $X \sim F$ $m(t) = \mathbb E e^{tX}$ $m(t)$ $p > 0$ $\mathbb E |X|^p < \infty$ $\mathbb E X^p$

제안 : 및 이있는 경우 및 이면 의 모든 차수의 순간이 존재하며 유한합니다. $\newcommand{\tn}{t_{n}}\newcommand{\tp}{t_{p}}\tn < 0$ $\tp > 0$ $m(\tn) < \infty$ $m(\tp) < \infty$ $X$

증거에 들어가기 전에 두 가지 유용한 정리가 있습니다.

Lemma 1 : 그러한 및 가 존재 한다고 가정하십시오 . 그런 다음 에 대해 입니다. 증거 . 이것은 볼록성과 적분의 단 조성으로 이어집니다. 그러한 , 와 같은 있습니다. 그러나 따라서 적분의 의해 . $\tn$ $\tp$ $t_0 \in [\tn,\tp]$ $m(t_0) < \infty$
$e^x$ $t_0$ $\theta \in [0,1]$ $t_0 = \theta \tn + (1-\theta) \tp$

{이자형}^{티_{0} 엑스} = {이자형}^{θ 티_{엔} 엑스 + (1 - θ) 티_{피} 엑스} \leq θ {이자형}^{티_{엔} 엑스} + (1 - θ) {이자형}^{티_{피} 엑스} .

$e^{t_0 X} = e^{\theta \tn X + (1-\theta) \tp X} \leq \theta e^{\tn X} + (1-\theta) e^{\tp X} \>.$

E e^{t_{0} X} \leq θ E e^{t_{n} X} + (1 - θ) E e^{t_{p} X} < \infty

$\mathbb E e^{t_0 X} \leq \theta \mathbb E e^{\tn X} + (1-\theta) \mathbb E e^{\tp X} < \infty$

따라서 mgf가 두 개의 개별 지점에서 유한 한 경우 해당 지점 사이의 간격에있는 모든 값에 대해 유한합니다.

Lemma 2 ( 공백 중첩 $L_p$ ) : 의 경우, 이면 입니다. 증명 :이 답변과 관련 의견 에는 두 가지 접근 방식이 있습니다. $0 \leq q \leq p$ $\mathbb E |X|^p < \infty$ $\mathbb E |X|^q < \infty$

이것은 우리에게 제안의 증거를 계속할만큼 충분합니다.

제안의 증거 . 만약 및 다음 복용 제안에서 언급 한 바와 같이 존재하는 , 우리는 제 표제어가 알고 및 . 그러나 및 우측은 어떤 고정 된에 대해, 특히, 따라서 음이 아닌 측면으로 구성된다 이제, 합니다. 적분의 단 조성은 산출 합니다. 따라서 모두 $\tn < 0$ $\tp > 0$ $t_0 = \min(-\tn,\tp) > 0$ $m(-t_0) < \infty$ $m(t_0) < \infty$

e^{- t_{0} X} + e^{t_{0} X} = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{t_{0}^{2 n} X^{2 n}}{(2 n)!},

$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{t_0^{2n} X^{2n}}{(2n)!} \>,$

k

$k$

e^{- t_{0} X} + e^{t_{0} X} \geq 2 t_{0}^{2 k} X^{2 k} / (2 k)! .

$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} \geq 2 t_0^{2k} X^{2k}/(2k)! \>.$

E e^{- t_{0} X} + E e^{t_{0} X} < \infty

$\mathbb E e^{-t_0 X} + \mathbb E e^{t_0 X} < \infty$

E X^{2 k} < \infty

$\mathbb E X^{2k} < \infty$ 순간 조차도 유한합니다. Lemma 2는 즉시 "갭을 메우고" 모든 순간이 유한해야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

X

$X$

결과

손 질문에 대한 결말은 경우이다 어떤 의 순간의 무한 또는 존재하지 않는, 우리가 할 수있는 즉시 MGF가 원점을 포함하는 개방 간격으로 유한 아니라고 결론 지었다. (이것은 반대 되는 명제에 대한 진술입니다.) $X$

따라서, 위의 제안 은 mgf를 기준으로 의 순간에 대해 무언가를 말하기 위해 "올바른"조건을 제공합니다 . $X$

지수 적으로 제한된 꼬리와 mgf

제안 : mgf 는 의 꼬리 가 기하 급수적으로 묶인 경우에만 원점을 포함 하는 열린 간격 에서 유한합니다 예 : 일부 및 입니다 . $m(t)$ $(\tn,\tp)$ $F$ $\mathbb P( |X| > x) \leq C e^{-t_0 x}$ $C > 0$ $t_0 > 0$

증거 . 오른쪽 꼬리를 따로 다룰 것입니다. 왼쪽 꼬리는 완전히 유사하게 처리됩니다.

$(\Rightarrow)$ 어떤 대해 라고 가정하십시오 . 그런 다음 의 오른쪽 꼬리 는 기하 급수적으로 묶입니다 . 즉, 와 같이 및 이 존재합니다 이를 확인하려면 Markov의 부등식에 의해 대해 가라 및 증거의 방향을 완료. $m(t_0) < \infty$ $t_0 > 0$ $F$ $C > 0$ $b > 0$

P (X > x) \leq C e^{- b x} .

$\mathbb P(X > x) \leq C e^{-b x} \>.$

t > 0

$t > 0$

P (X > x) = P (e^{t X} > e^{t x}) \leq e^{- t x} E e^{t X} = m (t) e^{- t x} .

$\mathbb P(X > x) = \mathbb P(e^{tX} > e^{tx}) \leq e^{-tx} \mathbb E e^{t X} = m(t) e^{-t x} \>.$

C = m (t_{0})

$C = m(t_0)$

b = t_{0}

$b = t_0$

$(\Leftarrow)$ 와 같이 및 이 있다고 가정합니다 . 그런 다음 경우 여기서 첫 번째 평등 은 음이 아닌 임의 변수의 기대치에 대한 표준 사실 . 어떤 선택 되도록 ; 그런 다음 오른쪽의 적분은 유한합니다. $C >0$ $t_0 > 0$ $\mathbb P(X > x) \leq C e^{-t_0 x}$ $t > 0$

E e^{t X} = \int_{0}^{\infty} P (e^{t X} > y) d y \leq 1 + \int_{1}^{\infty} P (e^{t X} > y) d y \leq 1 + \int_{1}^{\infty} C y^{- t_{0} / t} d y,

$\mathbb E e^{t X} = \int_0^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty C y^{-t_0/t} \, \mathrm dy \>,$

t

$t$

0 < t < t_{0}

$0 < t < t_0$

이것으로 증명이 완료됩니다.

mgf가 주어진 분포의 고유성에 대한 참고 사항

mgf가 0을 포함하는 열린 구간에서 유한 한 경우 연관된 분포는 해당 모멘트를 특징으로합니다 . 즉 모멘트가 유일한 분포입니다 . 특징적인 기능 에 대한 (상대적으로 간단한) 사실을 가지고 있다면 표준 증거는 짧습니다 . 세부 사항은 대부분의 현대 확률 텍스트 (예 : Billingsley 또는 Durrett)에서 찾을 수 있습니다. 이 답변 에는 몇 가지 관련 사항이 설명 되어 있습니다. $\mu_n = \mathbb E X^n$

예와 반례

( a ) 로그 정규 분포 : 정규 랜덤 변수 대해 경우 는 로그 정규 입니다. 따라서 은 확률 1입니다. 모든 대해 이기 때문에 이것은 즉시 모든 대해 임을 알려줍니다 . 따라서 mgf는 음이 아닌 반줄에서 유한합니다 . ( NB 우리는 의 음이 아닌 음만 사용 하여이 사실을 설정 했으므로 음이 아닌 임의의 모든 변수 에서 사실입니다 .) $X$ $X = e^Y$ $Y$ $X \geq 0$ $e^{-x} \leq 1$ $x \geq 0$ $m(t) = \mathbb E e^{t X} \leq 1$ $t < 0$ $(-\infty,0]$ $X$

그러나 모든 대해 입니다 . 표준 대수 정규 법을 표준 사례로 사용합니다. 만약 , 다음 . 변수를 변경하면 들어 과 충분한 , 우리가 위에서 주어진 경계에 의해. 그러나 임의 대한 및 MGF이 모두 무한대이므로 . $m(t) = \infty$ $t > 0$ $x > 0$ $e^{x} \geq 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3$

이자형 {이자형}^{티 엑스} = (2 π)^{- 1 / 2} \int_{- \infty}^{\infty} {이자형}^{티 {이자형}^{유} - 유^{2} / 2} 디 유 .

$\mathbb E e^{t X} = (2\pi)^{-1/2} \int_{-\infty}^\infty e^{t e^u - u^2/2} \,\mathrm d u \>.$

t > 0

$t > 0$

u

$u$

t e^{u} - u^{2} / 2 \geq t + t u

$t e^u - u^2/2 \geq t+tu$

\int_{케이}^{\infty} {이자형}^{티 + 티 유} 디 유 = \infty

$\int_{K}^\infty e^{t + tu} \,\mathrm du = \infty$

K

$K$

t > 0

$t > 0$

반면, 로그 정규 분포의 모든 순간은 유한합니다. 따라서, 위의 제안의 결론에는 약 0의 간격으로 mgf가 존재 하지 않아도됩니다 .

( b ) 대칭 대수 정규화 : 우리는 대수 정규 분포를 "대칭"함으로써 더 극단적 인 사례를 얻을 수 있습니다. 밀도 고려 에 대한 되도록 MGF가 한정되어 있다는 이전의 예에 비추어 볼 어렵지 않다 만 에 대해 . 그러나 짝수 순간은 로그 정규의 순간과 동일하며 홀수 순간은 모두 0입니다! 따라서 mgf는 어디에도 존재 하지 않지만 (항상 존재하는 곳은 제외) 모든 주문의 유한 순간을 보장 할 수 있습니다. $f(x)$ $x \in \mathbb R$

에프 (엑스) = \frac{1}{2 \sqrt{2 π} | 엑스 |} {이자형}^{- \frac{1}{2} (로그 | 엑스 |)^{2}} .

$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}|x|} e^{-\frac{1}{2} (\log |x|)^2} \>.$

t = 0

$t = 0$

( c ) 코시 분포 :이 분포는 또한 모든 대해 무한한 mgf를 갖지만 대해 절대 모멘트 는 유한 하지 않습니다 . MGF 대한 결과가 다음 보낸 대 등 대한 증거 는 유사합니다. (아마도 덜 알려진 것은 Cauchy에 대해 의 모멘트 가 존재한다는 것입니다. 이 답변보기 $t \neq 0$ $\mathbb E|X|^p$ $p \geq 1$ $t > 0$ $e^x \geq x^3 / 6$ $x > 0$

이자형 {이자형}^{티 엑스} \geq \int_{1}^{\infty} \frac{티^{삼} {엑스}^{삼}}{6 π (1 + {엑스}^{2})} 디 엑스 \geq \frac{티^{삼}}{12 π} \int_{1}^{\infty} 엑스 디 엑스 = \infty .

$\mathbb E e^{tX} \geq \int_1^\infty \frac{t^3 x^3}{6\pi(1+x^2)} \,\mathrm dx \geq \frac{t^3}{12\pi} \int_1^\infty x \,\mathrm dx = \infty \>.$

t < 0

$t < 0$

0 < p < 1

$0 < p < 1$ .)

( d ) 반코시 분포 : 가 (표준) 코시 인 경우반 코시 랜덤 변수. 그러면 이전 예제 에서 모든 대해 임을 쉽게 알 수 있습니다 . 그러나 는 대해 유한합니다 . $X$ $Y = |X|$ $\mathbb E Y^p = \infty$ $p \geq 1$ $\mathbb E e^{tY}$ $t \in (-\infty,0]$

— 추기경
소스

이 글을 게시 해 주셔서 감사합니다. 기술적 인면을 고려하면 놀라 울 정도로 이해하기 쉽습니다.

— 매크로

힐버트 우주에서 mgf에 대한 결과를 알고 있습니까?

— badatmath