잔차 이분산성 측정

이 위키 백과 링크 에는 OLS 잔차 이분산성을 감지하는 여러 기술이 나열되어 있습니다. 이분산성에 영향을받는 영역을 감지하는 데 어떤 실습 기술이 더 효율적인지 알고 싶습니다.

예를 들어, 여기 OLS '잔여량 대 적합치'그림의 중앙 영역이 그림의 측면보다 더 높은 분산을 갖는 것으로 나타났습니다 (사실은 확실하지 않지만 문제의 경우라고 가정하겠습니다). 확인하기 위해 QQ 플롯에서 오류 레이블을 살펴보면 잔차 플롯 중심의 오류 레이블과 일치 함을 알 수 있습니다.

그러나 분산이 유의하게 더 높은 잔차 영역을 어떻게 정량화 할 수 있습니까?

이 문제는 탐색적인 느낌을줍니다. John Tukey는 그의 고전적인 탐색 데이터 분석 (Addison-Wesley 1977) 에서 이분산성을 탐색하기위한 많은 절차를 설명 합니다. 아마도 가장 직접적으로 유용한 것은 " 방황하는 회로도 "의 변형 일 것입니다 . 이렇게하면 하나의 변수 (예측 된 값)를 빈으로 자르고 m 문자 요약 (상자 그림 생성)을 사용하여 각 빈에 대한 다른 변수의 위치, 확산 및 모양을 표시합니다. 확률 편차보다는 전체 패턴을 강조하기 위해 m 문자 통계가 더욱 부드럽게됩니다.

의 boxplot절차를 활용하여 빠른 버전을 요리 할 수 ​​있습니다 R. 우리는 시뮬레이션 된이 분산 데이터를 보여줍니다 :

set.seed(17)
n <- 500
x <- rgamma(n, shape=6, scale=1/2)
e <- rnorm(length(x), sd=abs(sin(x)))
y <- x + e

OLS 회귀에서 예측 된 값과 잔차를 구합니다.

fit <- lm(y ~ x)
res <- residuals(fit)
pred <- predict(fit)

다음으로, 예측 된 값에 대해 등수 빈을 사용하는 방황 회로도입니다. 나는 lowess빠르고 더럽고 매끄럽게 사용합니다.

n.bins <- 17
bins <- cut(pred, quantile(pred, probs = seq(0, 1, 1/n.bins)))
b <- boxplot(res ~ bins, boxwex=1/2, main="Residuals vs. Predicted",
             xlab="Predicted", ylab="Residual")
colors <- hsv(seq(2/6, 1, 1/6))
temp <- sapply(1:5, function(i) lines(lowess(1:n.bins, b$stats[i,], f=.25), 
        col=colors[i], lwd=2))

파란색 곡선은 중앙값을 부드럽게합니다. 수평 경향은 회귀가 일반적으로 적합하다는 것을 나타냅니다. 다른 곡선은 상자 끝 (사 분위수)과 펜스 (일반적으로 극단적 인 값)를 부드럽게합니다. 이들의 강력한 수렴과 그에 따른 분리는 이분산성을 증명하고이를 특성화하고 정량화하는 데 도움이됩니다.

(예상 된 값의 분포를 반영하는 수평 축의 비선형 스케일에 주목하십시오. 약간의 작업으로이 축을 선형화 할 수 있으며 때로는 유용합니다.)

일반적으로 이분산성은 Breusch-Pagan 접근법을 사용하여 모델링됩니다. 선형 회귀의 잔차는 제곱되고 원래 선형 모형의 변수로 회귀됩니다. 후자의 회귀를 보조 회귀 라고합니다 .

$nR^2_a$, 어디 $n$ 관측치의 수 $R^2_a$ 입니다 $R^2$ 보조 회귀 분석에서 s는 균등성 귀무 가설에 대한 검정 통계량으로 사용됩니다.

목적에 따라이 모델의 개별 계수에 초점을 두어 분산 변수가 높거나 낮은 결과를 가장 예측하는 변수를 확인할 수 있습니다.