선형성은 선형성이 유지됩니까?

고정 된 두 개의 시계열 프로세스가 있다고 상상해보십시오 .$x_t,y_t$

가요 , 또한 고정? ∀ α , β ∈ $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

도움을 주시면 감사하겠습니다.

MA 표현이 있으므로 예라고 대답합니다.

놀랍게도, 이것은 사실이 아닙니다. (그러나 두 시계열의 독립성은 사실이 될 것입니다.)

나는 "안정적인"이라는 말은 정지 된 것을 의미하는 것으로 이해합니다 . 왜냐하면이 단어 는 적어도 하나의 사이트에서 하나를 포함하여 수백만 건의 검색 조회에서 상호 교환 적으로 사용되는 것 같습니다 .

반례의 경우 , 는 모든 가 , 와 독립적이며 한계 분포가 주위에 대칭 인 일정하지 않은 고정 시계열 이라고하자 . 밝히다$X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

이 도표는이 포스트에서 논의 된 3 가지 시계열의 일부를 보여줍니다. 는 표준 정규 분포에서 일련의 독립적 인 무승부로 시뮬레이션되었습니다.$X$

것을 보여 고정되어, 우리는 공동 분배 입증해야 에 대한 은 의존하지 않습니다 . 그러나 이것은 의 대칭과 독립성에서 직접 . $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

(512 개 값들의 시퀀스에 대해이 지연된 산점도 ) 공동 이변 분포한다는 주장 예시 독립적 대칭 : 같이 예상한다. "지연된 산점도"는 에 대한 의 값을 표시하며 값 이 표시됩니다.$Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

그럼에도 불구하고, 선택 우리는이$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

심지어 와 그렇지 않으면$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

는 일정하지 않기 때문에 분명히이 두 표현식은 ( 대해 서로 다른 분포를 가지지 만 , 시리즈 는 고정적이지 않습니다. 첫 번째 그림의 색상 은 나머지 값과 0 값을 구분하여 에서이 비정상 성을 강조합니다 .$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

2 차원 과정을 고려하십시오

$$w_t = (x_t, y_t)$$

프로세스가 고정되어 있거나 대안으로 프로세스 와 가 공동으로 고정 되어 있으면 측정 가능한 함수 까지 엄격하게 고정됩니다.$(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

@ whuber의 예에서 우리는

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

이 가 고정되어 있는지 검사하려면 먼저 확률 분포를 얻어야합니다. 변수가 절대적으로 연속적이라고 가정하십시오. 일부 경우$w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

때문에 whuber의 예 고집, 두 가지 서로 다른 확률 분포이다 제로 주변에 대칭 분포를 갖는다. $x_t$

엄격한 고 정성을 조사하려면 인덱스를 정수 만큼 이동하십시오 . 우리는$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

엄격한 문구를 위해, 우리는

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

그리고 우리는이 평등을 갖지 않습니다. , 가 짝수이고 가 홀수이면 는 홀수이므로$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

동안

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

따라서 우리는 공동의 엄격한 문구가 없으며 함수에 어떤 일이 일어날 지에 대해 보장하지 않습니다 . $f(x_t,y_t)$

와 사이의 의존성은 필수적이지만 관절의 엄격한 고정 손실을위한 충분한 조건은 아니라는 것을 지적해야합니다 . 작업을 수행하는 인덱스에 대한 의 종속성에 대한 추가 가정입니다 .$x_t$$y_t$$y_t$

치다

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

대한 이전 작업을 수행 하면 공동 엄격한 문구가 여기에 있음을 알 수 있습니다.$(q_t)$

프로세스가 인덱스에 의존 하고 엄격하게 고정되는 것은 우리가 자주 만들어야하는 모델링 가정에 속하지 않기 때문에 좋은 소식 입니다. 그러므로 실제로 우리가 한계 엄격 성을 가지고 있다면 의존성이 존재하더라도 공동 엄격 성도 기대할 수 있습니다 (물론 점검해야하지만).

MA 표현이 있으므로 예라고 대답합니다.

하나의 관찰. 나는 MA 표현이 약한 고 정성을 의미한다고 생각하지만 그것이 강한 고 정성을 의미하는지 확실하지 않습니다.