계절보다는 순환적인 시계열을 모델링하고 예측하려고합니다 (즉, 계절과 유사한 패턴이 있지만 고정 기간이 아닌). 예측의 8.5 절에 언급 된 ARIMA 모델을 사용하여 수행 할 수 있어야합니다 . 원칙 및 실습 :

의 가치 $p$데이터가 순환하는 경우 중요합니다. 주기적 예측을 얻으려면$p\geq 2$매개 변수에 대한 추가 조건과 함께. AR (2) 모델의 경우 다음과 같은 경우 순환 동작이 발생합니다.$\phi^2_1+4\phi_2<0$.

일반적인 ARIMA (p, d, q) 사례 의 매개 변수 에 대한 이러한 추가 조건 은 무엇입니까 ? 어디서나 찾을 수 없었습니다.

일부 그래픽 직감

에서 AR 모델 ,주기적인 동작 특성 다항식에 복소수의 뿌리에서 온다. 먼저 직관을 제공하기 위해 아래의 임펄스 응답 함수를 두 개의 예제 AR (2) 모델로 플로팅했습니다.

1. 복잡한 뿌리를 가진 지속적인 프로세스.
2. 실제 뿌리를 가진 지속적인 프로세스.

에 대한 $j=1\,\ldots, p$다항식의 근은 $\frac{1}{\lambda_j}$ 어디 $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$ 고유 값은 $A$매트릭스 아래에 정의합니다. 복소수 고유 값으로$\lambda = r e^{i \omega t}$ 과 $\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$, $r$ 댐핑 제어 $r \in [0, 1)$) 및 $\omega$ 코사인 파의 주파수를 제어합니다.

자세한 AR (2) 예

AR (2)가 있다고 가정 해 봅시다.

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

AR (p)를 VAR (1)로 쓸 수 있습니다 . 이 경우 VAR (1) 표현은 다음과 같습니다.

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ 매트릭스 $A$ 의 역학을 지배 $X_t$ 따라서 $y_t$. 행렬의 특성 방정식$A$ 입니다 : $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ 고유 값 $A$ 아르: $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ 고유 벡터 $A$ 아르: $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

참고 $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$. 고유 값 분해 형성 및 모금$A$ ~로 $k$힘.

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

실제 고유 값 $\lambda$ 당신이 키울 때 붕괴 $\lambda^k$. 0이 아닌 허수 성분을 가진 고유 값은 주기적 동작을 유발합니다.

허수 부 구성 요소의 고유 값 : $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

AR (2) 문맥에서, 우리는 $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$. 이후$A$사실, 그들은 서로 복잡한 공액 인 쌍으로 와야합니다 .

Prado and West (2010)의 2 장에 따라

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

당신은 예측을 보여줄 수 있습니다 $\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$ 에 의해 주어진다 :

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

느슨하게 말하면, 복합 컨쥬 게이트를 추가하면 허수의 공간에 하나의 감쇠 코사인 웨이브가 남는 가상 성분이 제거됩니다. (우리는 가지고 있어야합니다$0 \leq r < 1$ 문 구성.)

당신이 찾고 싶다면 $r$, $\omega$, $a_t$, $\theta_t$Euler의 공식 을 사용하여 시작하십시오.$re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$, 우리는 쓸 수있다:

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

부록

참고 용어 경고를 혼동! A의 특성 다항식과 AR (p)의 특성 다항식 관련

또 다른 시계열 트릭은 지연 연산자 를 사용 하여 AR (p)를 다음과 같이 작성하는 것입니다.

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

지연 연산자 교체 $L$ 약간의 변수로 $z$ 사람들은 종종 $1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$AR (p) 모델의 특성 다항식으로 이 답변에서 논의 했듯이 이것은 정확히 다항식입니다.$A$ 어디 $z = \frac{1}{\lambda}$. 뿌리$z$고유 값의 역수입니다. (참고 : 원하는 모델을 고정하려면$|\lambda| < 1$즉, 단위 cirlce 내에 있거나 동등하게 $|z|>1$즉, 단위 원 외부에 있습니다.)

참고 문헌

Prado, Raquel 및 Mike West, 시계열 : 모델링, 계산 및 추론 , 2010