평균의 제곱에 대한 편견없는 긍정적 추정량

true (알 수 없음) mean 및 variance 가있는 분포에서 iid 샘플에 액세스 할 수 있고 를 추정한다고 가정 합니다. $\mu, \sigma^2$ $\mu^2$

우리는 어떻게이 양에 대한 편견없는 항상 긍정적 인 견적을 구성 할 수 있습니까?

샘플 평균 의 제곱을 취하는 것은 편향되어 있으며, esp. 만약 에 가까운 0 크다. $\tilde{\mu}^2$ $\mu$ $\sigma^2$

이것은 아마도 사소한 질문 일 수 있지만 Google 기술로 인해 estimator of mean-squared반환 만 가능합니다.mean-squarred-error estimators

문제가 더 쉬워지면 기본 분포가 가우스 인 것으로 가정 할 수 있습니다.

해결책:

편향되지 않은 추정값 을 구성 할 수 있습니다 . 참조 knrumsey의 답변을 $\mu^2$
진정한 평균이 0 일 때 이러한 요구 사항이 충돌 하므로 편향되지 않고 항상 긍정적 인 추정값 인 를 구성 할 수 없습니다 . 참조 윙크 '대답 $\mu^2$

mean unbiased-estimator

— 윙크
소스

아마도 제곱 평균의 추정기 또는 평균 제곱의 추정기의 틈이있을 수 있습니다. 제목을 읽을 때 Google과 마찬가지로 혼란스러워보다 직관적으로 편집했습니다.

— Richard Hardy

답변:

표본 평균 도 평균 및 분산 과 함께 정규 분포 입니다. 이는 $\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

E ({\bar{X}}^{2}) = E (\bar{X})^{2} + Var (\bar{X}) = μ^{2} + \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname E(\bar{X}^2) = \operatorname E(\bar{X})^2 + \operatorname{Var}(\bar{X}) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}n$

신경 쓰지 않는 추정값 만 신경 쓰면 대해 표본 분산이 편차가 없다는 사실을 사용할 수 있습니다 . 이는 추정기 이 대해 편향되어 있지 않음을 의미 합니다. $\sigma^2$

\hat{μ^{2}} = {\bar{X}}^{2} - \frac{S^{2}}{n}

$\widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}n$

μ^{2}

$\mu^2$

— 놈럼
소스

입력 해 주셔서 감사합니다! 이것은 좋은 관찰이지만 항상 긍정적 인 요구 사항을 만족 시키지는 않습니다. 표본 {-1,1}에서 표본 평균은 0이고 표본 분산은 2이므로 추정값 은 -1입니다.

\hat{μ^{2}}

$\hat{\mu^2}$

— Winks

가 충분하고 완벽 하다는 것을 감안할 때 ,이 편향 추정기는 분산이 가장 적은 추정기이어야합니다.

(\bar{X}, S^{2})

$(\bar{X},S^2)$

— 시안

@Winks 이것이 불합리한 편견 추정 의 예인 이유 입니다.

— StubbornAtom

매우 흥미로운. 와 같이 두 개의 iid 관측 값 및 사용하는 간단한 편견 추정량 은 입니다. 분명히 이것은 추정량만큼 좋지는 않지만 다항식 에는 편견이없는 추정기가 있다는 것이 분명합니다 .

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$

E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2}) = μ^{2}

$E(X_1 X_2) = E(X_1)E(X_2) = \mu^2$

μ

$\mu$

— Paul Harrison

편견이없고 항상 긍정적 인 평가자를 생성 할 수 없어야합니다. $\mu^2$ .

참 평균이 0이면 추정기는 0을 반환해야하지만 음수를 출력 할 수 없으므로 바이어스 될 때와 같이 양수를 출력 할 수 없습니다. 따라서이 양의 편견이없고 항상 긍정적 인 추정값은 표본에 관계없이 평균이 0 일 때 항상 정답을 반환해야하므로 불가능 해 보입니다.

knrumsey의 답변 은 표본 평균 제곱 추정기의 치우침을 보정하여 $\mu^2$ .

— 윙크
소스

짐 버거 (Jim Berger)가이 사실을 입증하는 다소 오래된 논문이 있지만 추적 할 수는 없습니다. 이 문제는 Monte Carlo에서도 Russian Roulette와 같은 Debiasing Estimators와 함께 나타납니다.

— 시안