iid 감마 변이의 합 제한

보자$X_1,X_2,\ldots$ 확률 밀도 함수와 독립적으로 동일하게 분산 된 랜덤 변수들의 시퀀스 일;

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x^2 e^{-x} & \mbox{if $x>0$};\\ 0 & \mbox{otherwise}.\end{array} \right.$$ 보여 $$\lim_{n\to \infty} P[X_1+X_2+\ldots+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] \ge \frac{1}{2}$$

내가 시도한 것

첫눈에 나는 질문이 쇼에게 하한 요청하는대로 체비 쇼프 부등식을 사용한다고 생각 $X_1+X_2+\ldots +X_n$ . 그러나 문제가 CLT (Central Limit Theorem)와 관련이있을 수 있음을 분명히 나타내는 한계 부호에 대해 생각했습니다.

하자 $S_n=X_1+X_2+\ldots +X_n$

$$E(S_n)=\sum_{i=0}^{n} E(X_i)=3n \ (\text{since } E(X_i)=3) \\ V(S_n)=\sum_{i=0}^{n} V(X_i)=3n \ (\text{since } V(X_i)=3 \text{ and } X_i \text{ are i.i.d})$$

이제 CLT를 사용하여 큰 $n$ 에 대해 $X_1+X_2+........+X_n \sim N(3n,3n)$
또는

$$z=\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \sim N(0,1) \text{ as } n\to \infty$$

이제

$$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] = \lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) = \lim_\limits{n\to \infty} P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3}) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+P(z\ge 0 ) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+\frac{1}{2}\cdots(1)$$

사람 따라서, 행 , $P(-\sqrt{3}\le z<0) \ge 0$$(1)$

$$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})]\ge \frac{1}{2}$$

나 맞아?

체비 쇼프의 불평등이 효과가 있다고하셨습니다. 그것은 많은 이러한 시퀀스에 적용되는 다소 조잡하지만 효과적인 경계를 제공 하여이 시퀀스의 중요한 특징은 부분 합의 분산이 최대 과 선형 적으로 증가한다는 것을 나타 냅니다.$n$

다음, 상관 변수 중 임의 서열의 매우 일반적인 경우 고려 수단 와 유한 차이 첫 합으로 하자 .$X_i$$\mu_i$$\sigma_i^2.$$Y_n$$n$

$$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i.$$

결과적으로 의 평균 은$Y_n$

$$m_n = \sum_{i=1}^n \mu_n$$

그리고 그 차이는

$$s_n^2 = \operatorname{Var}(Y_n) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{j > i}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2.$$

가 과 함께 최대 선형으로 증가 한다고 가정합니다 .$s_n^2$$n$ 즉, 충분히 큰 이되도록 숫자 있다고 가정합니다 (아직 결정)을 보자.$\lambda\gt 0$$n,$ $s_n^2 \le \lambda^2 n.$$k\gt 0$

$$m - k \sqrt{n} \le m - \frac{k}{\lambda}s_n,$$

체비 쇼프의 불평등을 에 적용 하여$Y_n$

$$\eqalign{ \Pr(Y_n \ge m_n - k\sqrt{n}) &\ge \Pr(Y_n \ge m_n - \frac{k}{\lambda}s_n) \\ &\ge \Pr(|Y_n - m_n| \le \frac{k}{\lambda} s_n) \\ &\ge 1 - \frac{\lambda^2}{k^2}. }$$

처음 두 불평등은 기본입니다. 각 연속 이벤트는 이전 이벤트의 하위 집합이기 때문에 따릅니다.

---

손의 경우, 여기서 수단과 독립적 인 (따라서 무상관)이다 및 편차를 우리가 및$X_i$$\mu_i=3$$\sigma_i^2=3,$$m_n=3n$

$$s_n = \sqrt{3}\sqrt{n},$$

우리는 를 만큼 작게 취할 수 있습니다 질문 의 이벤트는 해당합니다 여기서$\lambda$$\sqrt{3}.$$3(n-\sqrt{n}) = \mu_n - 3\sqrt{n}$$k=3,$

$$\Pr(Y_n \ge 3n - 3\sqrt{n}) \ge 1 - \frac{\sqrt{3}^{\ 2}}{3^2} = \frac{2}{3}\gt \frac{1}{2},$$

QED.

whuber의 탁월한 답변에 대한 대안으로, 문제의 확률의 정확한 한계를 도출하려고 노력할 것입니다. 감마 분포의 특성 중 하나는 동일한 비율 / 스케일 매개 변수를 갖는 독립 감마 랜덤 변수의 합이 해당 변수의 형상의 합과 동일한 형상을 갖는 감마 랜덤 변수라는 것입니다. (분포의 생성 함수를 사용하여 쉽게 증명할 수 있습니다.) 현재의 경우 이 있으므로 합계를 얻습니다.$X_1,...X_n \sim \text{IID Gamma}(3,1)$

$$S_n \equiv X_1 + \cdots + X_n \sim \text{Gamma}(3n, 1).$$

따라서 감마 분포의 CDF를 사용하여 정확한 관심 확률을 쓸 수 있습니다. 분들께 나타낸다 형상 매개 변수와 관심의 인수를 나타내며, 우리가 가진 :$a = 3n$$x = 3(n-\sqrt{n})$

$$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &\equiv \mathbb{P}(S_n \geq 3(n-\sqrt{n})) \\[12pt] &= \frac{\Gamma(a, x)}{\Gamma(a)} \\[6pt] &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

이 확률의 한계를 찾기 위해 먼저 에서 두 번째 매개 변수를 쓸 수 있습니다 . Temme (1975) ( Eqn 1.4, p. 1109)에 표시된 결과를 사용 하여 점근 적 동등성을 갖습니다.$x = a + \sqrt{2a} \cdot y$$y = -\sqrt{3/2}$

$$\begin{aligned} \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} &\sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf}(-y) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} (1+y^2) \exp( - y^2). \end{aligned}$$

스털링의 근사와 지수의 제한적 정의를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.

$$\begin{aligned} \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} &\sim \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2} + x^a \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2} + \sqrt{x} \cdot (\tfrac{x}{a})^{a-1/2} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1} + \sqrt{x} \cdot e^{x-a} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a}{\sqrt{2 \pi} \cdot a + \sqrt{x}} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1}. \\[6pt] \end{aligned}$$

관련 값을 대체하여 다음을 얻습니다.

$$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1} \cdot \Bigg[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp \Big( \frac{3}{2} \Big) \Bigg]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

이것은 우리에게 한계를 준다 :

$$\lim_{n \rightarrow \infty} H(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) = 0.9583677.$$

이것은 우리에게 1/2보다 큰 관심 확률의 정확한 한계를 제공합니다.