머서의 정리는 반대로 작동합니까?

동료는 기능이 우리의 목적은 블랙 박스입니다. 이 함수 는 두 객체 의 유사성 를 측정 합니다. $s$ $s(a,b)$

우리는 에 다음과 같은 속성이 있음을 알고 있습니다. $s$

유사성 점수는 0과 1 사이의 실수입니다.
자체적으로 동일한 객체의 점수는 1입니다. 따라서 의미 하며 그 반대도 마찬가지입니다. $s(a,b)=1$ $a=b$
우리는 보장되는 . $s(a,b) = s(b,a)$

이제 그는 거리를 입력으로 요구하고 거리의 공리를 만족시키는 입력에 의존하는 알고리즘을 사용하려고합니다.

내 생각은 (는 유클리드 규범 또는 다른 거리가 될 수있다) 즉, 우리가 대수로 재 배열 할 수 있습니다 약간의 거리와 RBF 커널의 결과 인 것처럼 우리가 유사성 점수를 치료할 수 있다고했다 가정 유사성 점수가 참조하는 것이 (알 수없는) 일부 좌표계에서 한 쌍의 점에 대한 RBF 커널

\begin{aligned} s (x_{i}, x_{j}) & = \exp (- \frac{d (m_{i}, m_{j})^{2}}{r}) \\ \sqrt{- r \log s (x_{i}, x_{j})} & = d (m_{i}, m_{j}) \end{aligned}

$\begin{align} s(x_i,x_j) &= \exp\left(-\frac{d( m_i, m_j)^2}{r}\right) \\ \sqrt{-r \log s(x_i,x_j) } &= d(m_i,m_j) \\ \end{align}$

여기서 은 알려지지 않은 벡터이며 는 관심 객체이고 는 거리입니다. $m_\alpha \in \mathbb{R}^n$ $x_\alpha$ $d$

거리 공리를 존중한다는 점에서 명백한 특성이 나타납니다. 결과는 음이 아니어야하며 동일한 객체의 거리는 0입니다. 그러나이 일반적인 상황이 삼각형 부등식이 존중된다는 것을 암시하기에 충분하다는 것은 분명하지 않습니다.

반면에, 이것은 다소 미친 것 같습니다.

내 질문에 그래서 "는이 존재한다 같은 그 에 대한 메트릭 어떤 거리에 이러한 속성 부여 , 그리고 무엇 ?" $f$ $f(s(a,b))=d(a,b)$ $d$ $s$ $f$

경우 이러한 일반적인 상황에서 존재하지 않는 ,하는 요구 사항의 추가 설정이 존재는? $f$ $s$ $f$

— Sycorax는 Reinstate Monica를 말합니다
소스

거리 의 공리를 만족하는 쌍의 거리 가 주어 지더라도 , 이러한 거리를 실현하는 점이있는 유클리드 공간이 보장 되지 는 않습니다 . 이러한 삽입이 항상 가능한 것은 아닙니다. 예를 들어 math.stackexchange.com/questions/1000006을 참조하십시오 .

d (a, b)

$d(a,b)$

— amoeba는

이것은 매우 흥미로운 스레드입니다! 공유해 주셔서 감사합니다. 자신을 특정 거리로 제한하려는 의도는 아닙니다. (반대 방향으로 움직이므로 유클리드 거리가 아닌 RBF 커널을 사용할 수 있습니다.)

— Sycorax는 Reinstate Monica가

따라서 귀하의 질문은

를

하여

가 삼각형 부등식을 만족시키는 방법에 관한 것입니다. 이 거리 행렬을 유클리드 공간에 포함시킬 수 있는지 여부는 중요하지 않습니다. 옳은? 내 직감은 임의

경우 불가능하다는 것입니다.

s (a, b)

$s(a,b)$

d (a, b) = f (s (a, b))

$d(a,b)=f(s(a,b))$

d

$d$

s

$s$

— amoeba는

맞습니다. 적어도

대한 추가 제한이 없으면 불가능한 것 같습니다 .

s

$s$

— Sycorax는 Reinstate Monica가

항상 이산 메트릭 (en.wikipedia.org/wiki/Discrete_space)으로

f : f (x) = I_{x > 0}

$f: f(x) = I_{x>0}$

— 이어지지

답변:

머서의 정리는 반대로 작동합니까?

모든 경우에 해당되는 것은 아닙니다.

위키는 "수학 구체적 기능 분석에서, 머서 정리는 인 표현 (A)의 대칭적인 양의 정부 호 함수 제품 기능의 수렴 시퀀스의 합으로서 사각형 (1909 머서)로 표시이 정리 상기 중 하나이다. 제임스 머서 (James Mercer)의 연구 결과 중 가장 주목할만한 결과 이것은 적분 방정식 이론에서 중요한 이론적 도구이며, Karberten-Loève 정리와 같은 확률 과정의 힐버트 우주 이론에서 사용되며 특성화 에도 사용됩니다. 대칭 양의 반정의 커널.

이것은 힐버트 공간 에서 ' 일대일 매핑 '입니다 . - 총 지나친 단순화는 해시 또는 정체성을 결정하거나하지 않는 파일에 대해 테스트 할 수있는 검사로 설명하는 것입니다.

자세한 기술 설명 : 분해 정리

"수학에서, 분해 이론은 측정 이론과 확률 이론의 결과이다. 그것은 측정의 공간 이 없는"제한 " 이라는 개념을 문제의 측정 공간의 측정 값 제로 부분 집합으로 엄격하게 정의한다 . 어떤 의미에서 "붕괴"는 제품 측정의 구성과 반대되는 과정입니다. "

참조 : " 후 비니-토 넬리 정리 ", " 힌지 손실 ", " 손실 기능 "및 " 유사성 측정으로 커널을 사용하는 방법은? "(2007 년 6 월) Nathan Srebro, 초록 :

" 요약. 최근 Balcan과 Blum은 양의 반 정확한 커널 대신 일반적인 유사성 기능을 기반으로 한 학습 이론을 제안했습니다. 우리는 커널 기반 학습을 기반으로 한 학습 보장과이를 사용하여 얻을 수있는 학습 간의 차이를 연구합니다. Balcan과 Blum에 의해 공개 된 유사성 기능으로서의 커널. 우리는 유사성 기능으로 사용될 때 커널 기능이 얼마나 좋은지에 대해 상당히 개선 된 경계를 제공하고, 결과를보다 실질적으로 관련된 힌지 손실로 확장합니다. 더 나아가, 우리는이 한계가 좁다는 것을 보여 주므로, 전통적인 커널 기반 마진 개념과 새로운 유사성 기반 개념 사이에 실제 격차가 존재한다는 사실을 입증 할 수 있습니다. "

동료는 기능이 우리의 목적은 블랙 박스입니다. $s$

참조 : 커널 및 유사성 (R)

블랙 박스이므로 어떤 커널이 사용되는지, 어떤 커널이 커널 기반인지 알지 못하며, 어떤 커널인지 알고 있다고 생각되면 커널 구현의 세부 사항을 알 수 없습니다. 참조 : kernlab의 rbfKernel 방정식이 표준과 다른가? .

반면에, 이것은 다소 미친 것 같습니다.

제한된 상황에서 빠르고 효과적입니다. 망치처럼, 망치를 가지고 다니면 사람들이 당신을 미치게할까요?

" 커널 메소드 는 커널 함수를 사용하여 그 이름을 부여합니다. 커널 함수는 해당 공간의 데이터 좌표를 계산하지 않고 단순히 이미지 사이의 내부 제품을 계산하여 고차원의 암시 적 피쳐 공간에서 작동 할 수 있도록합니다. 피처 공간에있는 모든 데이터 쌍 중이 작업은 좌표를 명시 적으로 계산하는 것 보다 계산 상 더 저렴 합니다.이 방법을 "커널 트릭"이라고합니다. 커널 함수는 시퀀스 데이터, 그래프, 텍스트, 이미지 등을 위해 도입되었습니다 . 뿐만 아니라 벡터. ".

수업 : 당신은 (때때로) 당신이 지불하는 것을 얻습니다.

내 질문에 "그래서합니까는 존재한다 하도록 에 대한 일부에 이러한 속성 부여 미터 거리 , 그리고 무엇 즉 ?" $f$ $f(s(a,b))=d(a,b)$ $d$ $s$ $f$

많은 사람들이, 위의 "링크 참조 인기있는 커널 함수 ," RBF을 하고, 여기에서 (비싼) 예제 : " 푸리에 사이의 유사성에 대한 가능성 비율 거리 측정은 시계열의 변환 (2005)", 야나첵, Bagnall와 파월.

경우 이러한 일반적인 상황에서 존재하지 않는 ,하는 요구 사항의 추가 설정이 존재는? $f$ $s$ $f$

서로 다른 공간과 방법은 특정 문제의 비교 (및 붕해)를 더 잘 목표로 할 수 있으며 , 힐버트 공간 에만 많은 방법 이 있습니다 .

예, 목록이 큽니다. 위의 링크 및 (예를 들어) : 커널 Hilbert 공간 재생을 참조하십시오 .

— 롭
소스

-1

그러나이 일반적인 상황이 삼각형 부등식이 존중된다는 것을 암시하기에 충분하다는 것은 분명하지 않습니다.

실제로는 충분하지 않습니다. 작업 해 봅시다 . 세 개의 점 있는 경우 $d(a, b) = 1 - s(a, b)$ $x, y, z$ , $d(x, y) = \frac{1}{3}$ $d(y, z) = \frac{1}{3}$ $d(x, z) = 1$ $d(x, z) > d(x, y) + d(y, z)$

— 코디과
소스

이것이 어떻게 증명되는지 모르겠습니다.

— amoeba는

d

$d$

f (α) = 1 - α

$f(\alpha)=1-\alpha$

s

$s$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

m

$m$

s

$s$

d

$d$

f

$f$

m

$m$

1 - s (a, b)

$1-s(a,b)$

x_{α}

$x_\alpha$

m_{α}

$m_\alpha$

s

$s$