다항 분포의 정규 근사값은 얼마입니까?

가능한 근사치가 여러 개인 경우 가장 기본적인 것을 찾고 있습니다.

이항 분포가 일 변량 정규 분포에 의해 근사되는 것과 같은 방식으로 다변량 정규 분포로 근사 할 수 있습니다. 분포 이론 및 다항 분포의 요소 확인 페이지 15-16-17.

하자 당신의 확률의 벡터합니다. 다변량 정규 분포의 평균 벡터는 입니다. 공분산 행렬은 대칭 행렬입니다. 대각선 요소는 실제로 의 분산입니다 . 즉 , 입니다. i 번째 행과 j 번째 열의 비 대각선 요소는 . 여기서 는 .$P=(p_1,...,p_k)$$np=(np_1,np_2,...,np_k)$$k \times k$$X_i$$np_i(1-p_i)$$i=1,2...,k$$\text{Cov}(X_i,X_j)=-np_ip_j$$i$$j$

이 답변에 주어진 밀도 는 퇴화되므로, 다음을 사용하여 정규 근사에서 얻은 밀도를 계산했습니다.

확률 변수 소정라는 이론있어 들면 차원 벡터 와 및 입니다.$X = [X_1, \ldots, X_m]^T \sim \text{Multinom}(n, p)$$m$$p$$\sum_i p_i = 1$$\sum_i X_i = n$

$$X \xrightarrow{d} \sqrt{n} \, \text{diag}(u) \, Q \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_m \end{bmatrix},$$

큰 에 대해 주어진;$n$

• 벡터 와 ;$u$$u_i = \sqrt{p_i}$
• 대한 랜덤 변수 및;$Z_i \sim N(0,1)$$i = 1, \ldots, m-1$
• 직교 행렬 마지막 컬럼 .$Q$$u$

다시 말해, 일부 재 배열 을 통해 의 첫 번째 성분 ( 이 다른 성분 의 합 이므로 유일하게 흥미로운 성분 )에 대한 차원 다변량 정규 분포를 있습니다.$m-1$$m-1$$X$$X_m$

매트릭스의 적절한 값 이고 와 - 즉 특정 세대주 변환.$Q$$I - 2 v v^T$$v_i = (\delta_{im} - u_i) / \sqrt{2(1 - u_m)}$

왼쪽을 첫 번째 행으로 제한하고 를 첫 번째 행 및 열로 제한하면 (각각 및 나타냄) 다음을 수행하십시오.$m-1$$Q$$m-1$$m-1$$\hat{X}$$\hat{Q}$

$$\hat{X} \xrightarrow{d} \sqrt{n} \text{diag}(\hat{u}) \hat{Q} \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_{m-1} \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \mu, n \Sigma \right),$$

큰 의 경우;$n$

• $\hat{u}$ 제 나타내고 의 조건 ;$m-1$$u$
• 평균은 .$\mu = [ n p_1, \ldots, n p_{m-1}]^T$
• 공분산 행렬 와 .$n \Sigma = n A A^T$$A = \text{diag}( \hat{u} ) \hat{Q}$

최종 방정식의 오른쪽은 계산에 사용되는 비축 퇴 밀도입니다.

예상대로 모든 것을 연결하면 다음과 같은 공분산 행렬이 나타납니다.

$$(n\Sigma)_{ij} = n \sqrt{p_i p_j} (\delta_{ij} - \sqrt{p_i p_j})$$

위한 이고, 정확하게 는 제 한정 일본어 대답 공분산 행렬 행과 컬럼.$i,j = 1, \ldots, m-1$m - 1 m - 1$m-1$$m-1$

이 블로그 항목 은 저의 출발점이었습니다.