두 rv의 차이의 통일 PDF

두 iid rv의 차이에 대한 PDF를 사각형처럼 보이게 할 수 있습니까 (예를 들어, rv를 균일 분포에서 가져온 삼각형 대신).

즉, jk의 PDF f (일부 분포에서 가져온 두 개의 iid rv의 경우)는 모든 -1 <x <1에 대해 f (x) = 0.5를 가질 수 있습니까?

최소값은 -1이고 최대 값은 1이라는 점을 제외하고 j와 k를 취하는 분포에 대한 제한은 없습니다.

실험을 한 후에는 이것이 불가능할 것이라고 생각합니다.

random-variable pdf iid

— 나단
소스

두 균일 분포의 차이는 삼각형 분포이므로 iid 균일 차이의 균일 성을 얻을 수 있는지 묻는다면 그 대답은 아닙니다.

— 팀

같은 Q가 여기에 물었습니다 : math.stackexchange.com/questions/2048939/… 지금까지 답변이 없습니다!

— kjetil b halvorsen

와 가이 종말점에 가까운 확률 질량을 가질 때 실제로 외부의 실현을 피하는 것이 어려워 보일 것 입니다.

[- 1, 1]

$[-1,1]$

j

$j$

k

$k$

— Christoph Hanck

불가능합니다. 내 기억에 따르면 이것은 (약간 다른 형태로) 이미 사이트 어딘가에 대답했습니다. 내가 그것을 찾을 수 있는지 보자

— Glen_b-복지국 모니카

@Glen_b 당신은 회수 될 수 stats.stackexchange.com/questions/125360/...을 . 그렇지 않아 매우 하지만 중복 때문에 차분 발현으로서 합이되지만 IID 변수, 동일하지 않은 변수 분포와의 합을 포함 할 수있다. 내 솔루션을 간단하게 수정하면이 차이를 해결할 수 있다고 생각합니다. Silverfish의 솔루션은 거의 수정없이 직접 적용되는 것처럼 보이지만, 먼저이를 확인하기 위해 많은 외부 재료를 제거해야합니다.

X - Y

$X-Y$

X + (- Y),

$X+(-Y),$

— whuber

답변:

정리 : 어떤 유통 없다 하는 때 . $\text{Dist}$ $A-B \sim \text{U}(-1,1)$ $A, B \sim \text{IID Dist}$

증명 : 공통 특성 함수 두 개의 임의 변수 를 고려하십시오 . 차이점을 나타 냅니다. 차이점의 특징적인 기능은 다음과 같습니다. $A, B \sim \text{IID Dist}$ $\varphi$ $D=A-B$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = E (\exp (i t (A - B))) \\ = E (\exp (i t A)) E (\exp (- i t B)) \\ = φ (t) φ (- t) \\ = φ (t) \bar{φ (t)} \\ = | φ (t) |^{2} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

(이 작업의 네 번째 줄은 특성 함수가 Hermitian 이라는 사실에서 비롯 됩니다.) 이제 사용하면 대한 특정 형식 이됩니다. $D \sim \text{U}(-1,1)$ $\varphi_D$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = \int_{R} \exp (i t r) f_{D} (r) d r \\ = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \exp (i t r) d r \\ = \frac{1}{2} [\frac{\exp (i t r)}{i t}]_{r = - 1}^{r = 1} \\ = \frac{1}{2} \frac{\exp (i t) - \exp (- i t)}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (- t) + i \sin (- t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (t) - i \sin (t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{2 i \sin (t)}{i t} \\ = \frac{\sin (t)}{t} = sinc (t) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

후자는 (정규화되지 않은) sinc 함수 입니다. 따라서 대한 요구 사항을 충족 시키려면 다음 과 같이 제곱 규범을 갖는 특성 함수가 필요합니다 . $\text{Dist}$ $\varphi$

| φ (t) |^{2} = φ_{D} (t) = sinc (t) .

$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$

이 방정식의 왼쪽은 제곱 규범이므로 음수가 아닌 반면, 오른쪽은 다양한 위치에서 음수 인 함수입니다. 따라서이 방정식에 대한 해가 없으므로 분포 요구 사항을 충족하는 특성 함수가 없습니다. ( Mathematics.SE에 관한 관련 질문 에서 이것을 지적 해 준 Fabian 에게 핫팁 ). 따라서 정리의 요구 사항에 따른 분포는 없습니다. $\blacksquare$

— 벤-복원 모니카
소스

이것은 stats.SE보다는 dsp.SE에 더 적합한 관점을 가지고 있지만 전기 기술자의 문제입니다.

와 가 공통 pdf 인 연속 랜덤 변수 라고 가정하십시오 . 이면, 이고 , 우리가 그 Cauchy-Schwarz 부등식에 따르면 의 최대 값은 입니다. 실제로, 는 실제로 "신호"로 간주되는 의 "자기 상관 (autocorrelation)"함수이므로 , 에서 고유 한 최대 값을 가져야 하므로 는 원하는대로 균일하게 분포 될 수 없다 . 또는 인 경우 $X$ $Y$ $f(x)$ $Z$ $X-Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) f (x + z) d x .

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$

f_{Z} (z)

$f_Z(z)$

z = 0

$z=0$

f_{Z}

$f_Z$

f

$f$

z = 0

$z=0$

Z

$Z$

f_{Z}

$f_Z$ 실제로 균일 한 밀도 (자기 상관 함수이기도 함) 인 경우 (신호로 간주 )의 "파워 스펙트럼 밀도" 는 sinc 함수가되므로 모든 파워 스펙트럼 밀도가되어야하기 때문에 음이 아닌 함수는 아닙니다. . Ergo, 가 균일 한 밀도라는 가정은 모순을 초래하므로 가정은 거짓이어야합니다.

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z}

$f_Z$

와 의 공통 분포 가 원자를 포함 할 때 은 분명히 유효하지 주장 은 그러한 경우 의 분포도 원자를 포함하기 때문입니다. 와 에 pdf 가 있다는 제한을 제거하고 일반적인 경우에 대한 순수한 측정 이론적 증거를 만들 수 있다고 생각합니다. $f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $X$ 과 $Y$ 반드시 pdf를 즐길 필요는 없습니다 (그러나 차이점은 있습니다).

— 디립 사르 베이트
소스

그 중 일부는 나에게 옳지 않은 것 같습니다. 의 특징적인 기능

U (- 1, 1)

$\text{U}(-1,1)$ 분포 입니다

sinc

$\text{sinc}$ 푸리에 변환이 허용됩니다. 당신의 논리는 나에게 너무 많은 것을 증명 하는 것처럼 보입니다.

Z

$Z$ 균일 할 수는 없지만 균일 분포는 전혀 존재할 수 없습니다. 내가 오해 했니?

— 벤-복지국 모니카

특징적인 기능의 여부

U [- 1, 1]

$\mathcal U[-1,1]$ 존재하지 않는 것이 문제입니다. 존재합니다. pdf

Z

$Z$ 인 자기 상관 함수. 음, 전력 스펙트럼 밀도 의 어떤 자기 상관 함수가 있어야 음수가 아닌 함수이다. 그래서 가정 이

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ sinc 함수 인 파워 스펙트럼 밀도로 이어집니다 (양수 및 음수 값 모두 사용). 이것은 유효한 전력 스펙트럼 밀도가 아니기 때문에

f_{Z}

$f_Z$ 자기 상관 함수이기도합니다.)

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ 거짓이어야합니다.

— Dilip Sarwate