두 변수의 합의 분산에 대한 직관의 직관

10

나는 이전 연구에서

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

그러나 나는 왜 그런지 이해하지 못합니다. A와 B가 서로 높은 수준에있을 때 분산이 '분산'되는 효과가 있음을 알 수 있습니다. 상관 관계가 높은 두 변수로 합성을 만들 때 B의 관측치가 높은 A의 관측치와 B의 관측치가 낮은 A의 관측치가 추가되는 경향이 있습니다. 복합 변수에 극도로 높은 값과 낮은 값을 생성하여 복합의 분산을 증가시킵니다.

그러나 공분산에 정확히 2 를 곱하는 것이 왜 효과가 있습니까?

variance covariance intuition

— user1205901-복원 Monica
소스

1

와 가 완벽하게 양의 상관 관계를 갖는 경우 이고 완벽하게 음의 상관 관계가 있으면 . 공분산은이 범위의 관계가 얼마나 멀리 있는지 측정합니다.

A

$A$

B

$B$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) + 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)+ 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) - 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)- 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

— Henry

21

간단한 답변 :

분산에는 제곱이 포함됩니다.

V ㅏ 아르 자형 (엑스) = 이자형 [(엑스 - 이자형 [엑스])^{2}]

$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$

따라서 귀하의 질문은 제곱 정체성의 요소 2로 요약됩니다.

(ㅏ + 비)^{2} = ㅏ^{2} + 비^{2} + 2 ㅏ 비

$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

쪽의 정사각형 영역의 분해 시각적으로 이해 될 수있는 측면의 작은 사각형의 영역으로 와 에 추가하여, 두 변의 직사각형 및 : $(a+b)$ $a$ $b$ $a$ $b$

더 많은 답변 :

수학적으로 더 복잡한 답을 원한다면 공분산은 이중 선형 형태이므로 첫 번째와 두 번째 인수 모두에서 선형임을 의미합니다.

\begin{aligned} V a r (A + B) & = C o v (A + B, A + B) \\ = C o v (A, A + B) + C o v (B, A + B) \\ = C o v (A, A) + C o v (A, B) + C o v (B, A) + C o v (B, B) \\ = V a r (A) + 2 C o v (A, B) + V a r (B) \end{aligned}

$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$

마지막 줄에서 공분산이 대칭이라는 사실을 사용했습니다.

C o v (A, B) = C o v (B, A)

$Cov(A,B) = Cov(B,A)$

요약하면 :

와 를 모두 설명해야하기 때문에 두 개 입니다. $cov(A,B)$ $cov(B,A)$

— byouness
소스

5

랜덤 변수 세트는 벡터 공간이며, 유클리드 공간의 많은 특성은 이들에 유사 할 수 있습니다. 표준 편차는 길이와 매우 유사하고 길이와 같은 분산은 제곱입니다. 독립성은 직교에 해당하는 반면, 완벽한 상관 관계는 스칼라 곱셈에 해당합니다. 따라서 독립 변수의 분산은 피타고라스 정리를 따릅니다. .
$var(A+B) = var(A)+var(B)$

그것들이 완벽하게 상관된다면,
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

이것은
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

독립적이지 않으면 코사인 법칙과 유사한 법칙을 따릅니다.
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

일반적인 경우는 완전한 독립성과 완벽한 상관 관계 사이의 것입니다. 경우 및 독립적으로, 다음 제로이다. 따라서 일반적인 경우는 항상 항과 항이 있고 항 에 약간의 변형이있는 것입니다 ; 변수의 상관 관계가 높을수록이 세 번째 항이 더 커집니다. 그리고 이것은 정확히 입니다 : 그것은 곱하기 와 의 입니다 . $A$ $B$ $cov(A,B)$ $var(A,B)$ $var(A)$ $var(B)$ $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $2cov(A,B)$ $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $r^2$ $A$ $B$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

여기서 및 $MeasureOfCorrelation = r^2$ $PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

인 경우 다른 용어 로 $r = correl(A,B)$

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

따라서 는 코사인 법칙의 와 유사합니다 . $r^2$ $cos$

— 축적
소스

2

나는 당신이 인용하는 것은 아니라는 것을 추가 할 정의 의 , 오히려 결과 의 정의 및 . 따라서 방정식이 왜 유지되는지에 대한 답은 byouness에 의해 수행되는 계산 입니다. 당신의 질문은 정말 그게 말이되는 이유 일 것입니다. 비공식적으로 : $Var(A+B)$ $Var$ $Cov$

얼마 "변화"할 것은 네 가지 요소에 따라 달라집니다 $A+B$

는 얼마나 다양 할까요 ? $A$
는 얼마나 다양 할까요 ? $B$
가 움직일 때 (또는 변할 때) 가 얼마나 변할 것인가 . $A$ $B$
가 움직일 때 가 얼마나 변 할까요 ? $B$ $A$

어떤 우리에게 가져다 는 가 대칭 연산자 이기 때문 입니다.

V ㅏ 아르 자형 (ㅏ + 비) = V ㅏ 아르 자형 (ㅏ) + V ㅏ 아르 자형 (비) + 씨 영형 V (ㅏ, 비) + 씨 영형 V (비, ㅏ)

$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$

= V ㅏ 아르 자형 (ㅏ) + V ㅏ 아르 자형 (비) + 2 씨 영형 V (ㅏ, 비)

$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$

C o v

$Cov$

— 바나 닌
소스