한계 밀도

제목에서 알 수 있듯이 의 한계 밀도를 찾고

f (x, y) = c \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}, x^{2} + y^{2} \leq 1.

$f (x,y) = c \sqrt{1 - x^2 - y^2}, x^2 + y^2 \leq 1.$

지금까지 는 입니다. 를 극좌표로 변환 하고 통합 함으로써 한계 밀도 부분에 붙어있는 것을 알았습니다. 나는 이지만 큰 혼란을 겪지 않고 어떻게 해결할 수 있는지 잘 모르겠습니다. 큰 지저분한 통합으로 가정합니다. 대신 를 찾은 다음 를 사용하여 를 찾을 수 $c$ $\frac{3}{2 \pi}$ $f(x,y)$ $drd\theta$ $f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$ $F(x,y)$ $\frac{dF}{dx}$ $f_x(x)$ ? 그것은 직관적 인 방법처럼 보이지만 교과서에서 그러한 관계를 나타내는 것을 찾을 수없는 것 같아서 잘못된 가정을하고 싶지 않았습니다.

self-study marginal multivariable

— 재로드
소스

@kwak 제목 변경이 왜 필요한지 잘 모르겠습니다. "숙제"태그가 충분해야합니다.

— Shane

@Shane :> ok 원래대로 다시 변경되었습니다.

— user603

기하학이 여기에 도움이됩니다. 의 그래프는 단위 반경의 구형 돔입니다. (볼륨은 단위 구의 절반 인 이고, 이므로 즉시 이어집니다 .) 한계 밀도는 수직 단면의 영역에 의해 주어집니다 이 구체. 분명히 각 단면은 반원입니다. 한계 밀도를 얻으려면 나머지 변수의 함수로 반경을 찾고 원의 면적에 대한 공식을 사용하십시오. 결과 일 변량 함수를 정규화하면 단위 면적이 밀도로 바뀝니다. $f$ $(4 \pi /3)/2$ $c=3/(2 \pi)$

— 우버
소스

아, 그것은 다변량 미적분학에서 나에게 돌아 오는 것입니다. 그런 문제를 겪었던 것을 기억합니다. 나머지 변수의 함수로 반지름을 어떻게 찾습니까? 여전히 어떤 종류의 괴물 적분이 남을 것 같습니다.

— Jarrod

나머지 변수를

y

$y$ . 그때

x^{2} \leq 1 - y^{2}

$x^2 \le 1-y^2$ 통합해야 할 지역을 설명합니다. 분명히 반지름은

\sqrt{1 - y^{2}}

$\sqrt{1 - y^2}$ 단면적이 같을 때

π (1 - y^{2}) / 2.

$\pi (1 - y^2)/2.$ 그것은 매우 간단한 공식입니다 :-). (여기서 주제는 미적분학이 아닌 기하학이라는 것을 기억하십시오.)

— whuber

아 맞다 그것은 내 마음을 넘어갔지 만 너무 단순 해 보였다. 나는 그것이 복잡하다고 결정되었다고 생각합니다. 감사!

— Jarrod

나는 묻는 것을 잊었다 : c는 어떻게 이것을 이해합니까?

— Jarrod

제 생각에는 Whuber의 답변은 두 가지 이유로지지를 받아야합니다. 먼저 질문에 대한 답을, 두 번째 질문은 미래에 숙제 질문을 처리하는 방법에 대한 모델로 명시 적으로 언급됩니다. 이러한 유형의 답변은 실제로 학습 과정에 기여하며 채택 된 것보다 숙제 질문에 대한 더 나은 정책이 될 수 있습니다. MO / SO에서.

— user603