Halmos에-야만인 정리 라고하는 지배적 통계 모델 통계 모든 에 대해 측정 가능 버전의 Radon Nikodym 유도체 가있는 경우 이면 충분합니다. 여기서 는 대해 및 와 같은 특권 측정 .$(\Omega, \mathscr A, \mathscr P)$$T: (\Omega, \mathscr A, \mathscr P)\to(\Omega', \mathscr A')$$\{P \in \mathscr{P} \}$$T$$\frac{dP}{dP*}$$dP*$$P*=\sum_{i=1}^\infty P_i c_i$$c_i >0, \sum _{i=1}^\infty c_i =1$$P_i \in \mathscr P$

나는 왜 정리가 참인지 직관적으로 파악하려고 노력했지만 성공하지 못했기 때문에 내 질문은 정리를 이해하는 직관적 인 방법이 있는지 여부입니다.

기술적 인 정리

이것이 얼마나 직관적인지 확실하지 않지만 Halmos-Savage Theorem에 대한 진술의 기본 기술적 결과는 다음과 같습니다.

렘마 하자 수 에 -finite 계수 . 가 모든 , 에 대해 에 대한 측정 모음 이라고 가정하십시오 . 이어서 비음 수들의 시퀀스가 존재 및 요소들의 시퀀스 , 되도록 및 마다 .$\mu$$\sigma$$(S, \mathcal{A})$$\aleph$$(S, \mathcal{A})$$\nu \in \aleph$$\nu \ll \mu$$\{c_i\}_{i=1}^\infty$$\aleph$$\{\nu_i\}_{i=1}^\infty$$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$$\nu \ll \sum_{i=1}^\infty c_i \nu_i$$\nu \in \aleph$

이것은 Schervish 's Statistics Theory of Statistics (1995) 의 정리 A.78에서 그대로 사용됩니다 . 그 결과 그는 그것을 Lehmann 's Testing Statistical Hypotheses (1986) ( 제 3 판에 링크 )에서 기인했으며, 그 결과는 Halmos와 Savage 자체에 기인 한다 (Lemma 7 참조). 또 다른 좋은 참고 자료는 Shao의 수학적 통계 (2003 년 제 2 판) 이며, 관련 결과는 Lemma 2.1 및 Theorem 2.2입니다.

위의 정리는 finite 측정에 의해 지배되는 측정 패밀리로 시작하면 실제로 지배적 인 측정을 패밀리 내에서 셀 수있는 볼록한 측정 조합으로 대체 할 수 있다고 말합니다. 셰르 비쉬는 정리 A.78을 말하기 전에 글을 쓴다.$\sigma$

"통계 응용 프로그램에는 종종 단일 -finite 측정 과 관련하여 절대적으로 연속적인 측정 클래스 가 있습니다. 단일 지배 측정이 원래 클래스에 있거나 다음에서 구성 될 수 있다면 좋을 것입니다. 다음 정리에서이 문제를 해결했습니다. "$\sigma$

구체적인 예

알 수없는 대해 간격으로 균일하게 분포되어 있다고 생각되는 수량 를 측정한다고 가정 합니다. 이 통계적 문제에서, 우리는 형식의 모든 구간에서 균일 한 분포로 구성된 에 대한 Borel 확률 측정의 설정을 암시 적으로 고려합니다 . 즉, Lebesgue 측정 값을 나타내고 경우 는 분포 (즉, $X$$[0, \theta]$$\theta > 0$$\mathcal{P}$$\mathbb{R}$$[0, \theta]$$\lambda$$\theta > 0$$P_\theta$$\operatorname{Uniform}([0, \theta])$

$$P_\theta(A) = \frac{1}{\theta} \lambda(A \cap [0, \theta]) = \int_A \frac{1}{\theta} \mathbf{1}_{[0, \theta]}(x) \, dx$$ 모든 Borel 대해 이면 이것은 측정 대한 후보 분포 세트입니다 .$A \subseteq \mathbb{R}$ $$\mathcal{P} = \{P_\theta : \theta > 0\}.$$ $X$

패밀리 는 Lebesgue 측정 값 ( -finite 임)에 의해 지배 되므로 위의 정리 ( )는 시퀀스의 존재를 보장합니다 에 합산 비음 번호 및 서열 균일 분포 되도록 각 . 이 예제에서는 이러한 시퀀스를 명시 적으로 구성 할 수 있습니다!$\mathcal{P}$$\lambda$$\sigma$$\aleph = \mathcal{P}$$\{c_i\}_{i=1}^\infty$$1$$\{Q_i\}_{i=1}^\infty$$\mathcal{P}$

$$P_\theta \ll \sum_{i=1}^\infty c_i Q_i$$ $\theta > 0$

먼저 양의 유리수의 열거 형으로 지정하고 ( 명시 적으로 수행 할 수 있음 ) 각 에 대해 로 설정하십시오 . 다음으로 로 설정하여 합니다. 와 조합이 작동한다고 주장 합니다.$(\theta_i)_{i=1}^\infty$ Q i = P θ i i c i = 2 − i ∑ ∞ i = 1 c i = 1 { c i } ∞ i = 1 { Q i } ∞ i = 1$Q_i = P_{\theta_i}$$i$$c_i = 2^{-i}$$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$$\{c_i\}_{i=1}^\infty$$\{Q_i\}_{i=1}^\infty$

이를 확인하려면 수정 하고 를 이되도록 의 Borel 하위 세트로 . 임을 보여 주어야합니다 . 이후 및 피가수 각이 음수가 아닌, 그것은 그 다음된다 각각 . 또한, 각 가 양수이므로, 각각의 에 대해 을 따릅니다 . 즉, 모든 우리가 각 버젼을$\theta > 0$$A$$\mathbb{R}$$\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$$P_\theta(A) = 0$$\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$$c_i Q_i(A) = 0$$i$$c_i$$Q_i(A) = 0$$i$$i$

$$Q_i(A) = P_{\theta_i}(A) = \frac{1}{\theta_i} \lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0.$$ $\theta_i$양수이면 각 에 대해 을 따릅니다 .$\lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0$$i$

이제 하위 시퀀스 의 를 선택 하여 위에서 로 수렴합니다 (이 작업을 수행 할 수 있음) 이후 이다 조밀에서 ). 그런 다음 를 로 측정의 연속성을 통해 이므로 입니다. 이것은 주장을 증명합니다.$\{\theta_{i_k}\}_{k=1}^\infty$$\{\theta_i\}_{i=1}^\infty$$\theta$$\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$$A \cap [0, \theta_{\theta_{i_k}}] \downarrow A \cap [0, \theta]$$k \to \infty$

$$\lambda(A \cap [0, \theta]) = \lim_{k \to \infty} \lambda(A \cap [0, \theta_{i_k}]) = 0,$$ $P_\theta(A) = 0$

따라서,이 예에서 우리는 여전히 전체 가족을 지배하는 지배적 인 가족으로부터 확률 측정의 계산 가능한 볼록한 조합을 명시 적으로 구성 할 수있었습니다. 위의 Lemma 는 모든 지배 가족에 대해 (최소한 지배 조치가 -finite 인 한) 수행 될 수 있음을 보증 합니다 .$\sigma$

할 모사 비지 정리

이제 Halmos-Savage Theorem (개인 취향으로 인해 질문에서 약간 다른 표기법을 사용합니다)으로 넘어갑니다. Halmos-Savage 정리를 감안할 때 Fisher-Neyman 인수 분해 정리는 Doob-Dynkin 보조 정리와 Radon-Nikodym 파생 상품에 대한 연쇄 규칙의 하나의 적용에 불과합니다!

할 모사 비지 정리. 하자 것을 의미 지배 통계 모델 (BE 의 가능성을 측정의 세트이다 와 거기를 -finite 측정 에 이되도록 모든 ). 하자 수 측정 가능한 함수 이며 표준 보렐 우주. 그런 다음 다음과 같습니다.$(\mathcal{X}, \mathcal{B}, \mathcal{P})$$\mathcal{P}$$\mathcal{B}$$\sigma$$\mu$$\mathcal{B}$$P \ll \mu$$P \in \mathcal{P}$$T : (\mathcal{X}, \mathcal{B}) \to (\mathcal{T}, \mathcal{C})$$(T, \mathcal{C})$

1. $T$ 충분 확률 커널이 있다는 의미 ( 되도록 버전이다 모든 및 대한 ).$\mathcal{P}$$r : \mathcal{B} \times \mathcal{T} \to [0, 1]$$r(B, T)$$P(B \mid T)$$B \in \mathcal{B}$$P \in \mathcal{P}$
2. 서열이 존재 음이 아닌 숫자를되도록 및 서열 의 확률 대책 되도록 모든 여기서, 및 각 대해 측정 가능한 버전이 있습니다.$\{c_i\}_{i=1}^\infty$$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$$\{P_i\}_{i=1}^\infty$$\mathcal{P}$$P \ll P^*$$P \in \mathcal{P}$$P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i$$P \in \mathcal{P}$$T$$dP/dP^*$

증명. 위의 정리로, 우리는 즉시 를 로 대체 할 수 있습니다. 일부 시퀀스 는 음수가 아닌 숫자의 및 서열 의 확률 대책 .$\mu$$P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i$$\{c_i\}_{i=1}^\infty$$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$$\{P_i\}_{i=1}^\infty$$\mathcal{P}$

가 충분하다고 가정하자 . 그런 다음 모든 대해 측정 가능한 버전 이 있음을 보여 주어야합니다 . 정리의 설명에서 확률 커널 이라고하자 . 각 및 대해 따라서 는 모든 대한 의 버전입니다 .$T$$T$$dP/dP^*$$P \in \mathcal{P}$$r$$A \in \sigma(T)$$B \in \mathcal{B}$

$$\begin{aligned} P^*(A \cap B) &= \sum_{i=1}^\infty c_i P_i(A \cap B) \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A P_i(B \mid T) \, dP_i \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A r(B, T) \, dP_i \\ &= \int_A r(B, T) \, dP^*. \end{aligned}$$ $r(B, T)$$P^*(B \mid T)$$B \in \mathcal{B}$

각 에 대해 는 측정 가능한 공간 의 라돈-니코 딤 파생물 의 버전을 나타냅니다 (특히 는 측정 가능). 모든 및 대해 따라서 실제로 는$P \in \mathcal{P}$$f_P$$dP/dP^*$$(\mathcal{X}, \sigma(T))$$f_P$$T$$B \in \mathcal{B}$$P \in \mathcal{P}$

$$\begin{aligned} P(B) &= \int_{\mathcal{X}} P(B \mid T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_B f_P \, dP^*. \end{aligned}$$ $f_P$$T$-measurable 버전의 에 . 이것은 정리의 첫 번째 조건이 두 번째 조건을 의미 함을 증명합니다.$dP/dP^*$$(\mathcal{X}, \mathcal{B})$

하나는 선택할 수있는 가정 (2. 1을 의미) -measurable 버전 의 각 . 각 에 대해 는 의 특정 버전을 나타냅니다 (예 : 는 는 는 ) 의 버전입니다 . 이후 표준 보렐 공간이, 우리가 선택할 수 있습니다 그 확률 커널을 만드는 방법 (참조, 예를 들어, Schervish의에서 정리 B.32 통계의 이론 (1995)). 우리는$T$$f_P$$dP/dP^*$$P \in \mathcal{P}$$B \in \mathcal{B}$$r(B, t)$$P^*(B \mid T = t)$$r(B, t)$$r(B, T)$$P^*(B \mid T)$$(T, \mathcal{C})$$r$$r(B, T)$ 및 대한 의 버전입니다 . 따라서 및 를 지정하십시오. 모든 대해 이것은 가 및 대한 의 버전이며 증명은 다음과 같습니다. 끝난.$P(B \mid T)$$P \in \mathcal{P}$$B \in \mathcal{B}$$A \in \sigma(T)$$B \in \mathcal{B}$$P \in \mathcal{P}$

$$\begin{aligned} P(A \cap B) &= \int_A \mathbf{1}_B f_P \, dP^* \\ &= \int_A E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_A P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) \, dP. \end{aligned}$$ $r(B, T)$$P(B \mid T)$$P \in \mathcal{P}$$B \in \mathcal{B}$

요약. 여기에 제시된 Halmos-Savage 정리의 기초가되는 중요한 기술적 결과는 지배적 인 확률 측정 패밀리가 실제로 해당 패밀리의 확률 측정의 계산 가능한 볼록한 조합에 의해 지배된다는 사실입니다. 그 결과, Halmos-Savage 정리의 나머지 부분은 대부분 Radon-Nikodym 파생 상품의 기본 속성과 조건부 기대를 사용한 조작입니다.