2 차 차분의 직관은 무엇입니까?

때로는 고정식으로 만들기 위해 시리가 달라져야 할 수도 있습니다. 그러나 1 차 차분이 충분하지 않을 때 2 차 차분이 어떻게 고정 될 수 있는지 이해할 수 없습니다.

2 차 차분과 필요한 경우에 대해 직관적으로 설명해 주시겠습니까?

2 차 미분은 2 차 미분과의 이산 적 유사성입니다. 불연속 시계열의 경우 2 차 차이는 주어진 시점에서 시리즈 의 곡률 을 나타냅니다 . 2 차 차이가 양수이면 시계열이 그 시점에서 위로 휘어지고, 음수이면 시계열이 그 때 아래로 휘어집니다.

이산 시계열의 2 차 차이 $\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$ 시간에 $t$ 입니다 :

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

이 경우 긍정적입니다 $\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$ 그리고 부정적인 경우 $\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$ (그리고 만약에 0이라면 $\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$). 이 시점에서 이전보다 시리즈에서 위쪽으로 (아래쪽으로) 더 많은 변화가있는 경우 양의 곡률이 있으며 이전에서보다이 시점에서 시리즈에서 위쪽으로 (더 아래로) 변화가 적은 경우, 음의 곡률이 있습니다.

두 가지 생각 :

재귀 . 1 차 차이가 나면 무엇을 얻습니까? 올바른 조건에서 고정에 가까운 다른 시계열. 충분히 가깝지 않은 경우 이제 고정되지 않은 시계열이 있고 고정식에 더 가깝게 이동하려고하므로 1 차 차이가 있습니다. (원래 시계열의 2 차 차이가 발생합니다.) 차이 시계열이 정지에 충분히 가깝지 않으면 ... [반복] ...

파생 상품 . 자동차의 GPS 위치를 10 분마다 기록한다고 상상해보십시오. 2 일 동안 GPS 포인트를 가져 와서 보여줄 수 있고 어느 날이 있었는지 알 수 없었을 경우 (아마도 다른 날로부터 실제로 말할 수도 없었을 경우) 위치 데이터는 변화 없는.

하지만 2 주 동안 매일 다른 도시로 운전했다고하십니까? 당신은 날 사이의 차이점을 쉽게 알 수 있습니다. 아마도 내가 어느 날을 보여 주 었는지 정확히 알 수 있습니다. 움직이지 않습니다.

아마도 10 분마다 집과의 거리를 기록하면 데이터가 더 정체 될 수 있습니다. 거리에는 방향이 포함되어 있지 않으므로 이제 2 주 동안의 데이터가 거의 동일하게 보입니까? (예를 들어 평균 위치는 집입니다.)

대신 뉴욕에서 로스 엔젤레스까지 운전하기로 선택했다고 가정 해보십시오. 거리 트릭은 효과가 없을 것입니다.

그러나 대신 10 분마다 속도를 기록하도록 선택할 수 있습니다. 주간 시스템에서 크로스 컨트리를 운전할 때, 당신은 날마다 속도면에서 훨씬 비슷하게 보일 것입니다. 즉, 속도가 고정적입니다.

예를 들어 시간 0의 위치는 $L_0$10 분과 20 분 후 $L_1$ 과 $L_2$각각. 각 10 분 간격으로 이동 한 거리는$D_1 = L_1 - L_0$ 과 $D_2 = L_2 - L_1$시간 간격으로 나눌 때 속도 (속도와 동일하지만 방향이있는 단위)를 산출합니다. 두 번째 미분$A_2 = D_2 - D_1 = L_2 - 2 L_1 + L_0$가속입니다. 속도가 고정되어 있고 차량이 계속 움직이면 위치 차이도 고정됩니다.