p- 노름 볼에서 균일 한 소음 발생 (

$n$ 차원 의 p-norm 공에서 나오는 균일하게 분포 된 소음을 생성하는 함수를 작성하려고 합니다.

| | x | |_{p} \leq r

$\begin{equation} ||x||_p \leq r \end{equation}$

서클 ( ) ( http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html )에 대한 가능한 해결책을 찾았 지만 다른 값으로 확장하지 못했습니다 . $p = 2$ $p$

균일 분포에서 임의의 샘플을 그리고 주어진 제약 조건을 충족하지 않으면 다시 그려서 시도했습니다. 그러나 그것이 추악한 해결책 일뿐 만 아니라 높은 차원에서는 계산이 불가능합니다.

simulation noise

— 태케 드 한
소스

유클리드 거리 (p = 2) math.stackexchange.com/questions/87230/을 사용하여 n 크기의 구면에 대한 답을 찾을 수 있습니다 ...하지만 여전히 다른 p-norm에 이것을 사용하는 방법을 잘 모르겠습니다. 사용 된 유클리드 거리를 거리와 다른 관계로 변경하기 만하면됩니까?

— Taeke de Haan

이 논문이 많이 있지만, 대부분은 유료화 뒤에 : link.springer.com/article/10.1007/s00184-011-0360-x 또는 참조 google.com/...을

— 할보 르센 kjetil B

어떤 볼륨 측정법과 관련하여 "균일" 결국,

ball을 사용한다면 왜 유클리드 볼륨이 관심을 가질까요?

p

$p$

— whuber

@ whuber 나는 이것이 명확하게 지정되어 있지 않기 때문에 솔직히 확신하지 못하지만이 경우 다른 메트릭이 임의적 인 것처럼 보이기 때문에 p-norm에서 기대할 것입니다.

— Taeke de Haan

기계 학습 과제에서 문제가 발생합니다. "문제는 204 차원의 2 클래스 분류 문제입니다. 작은 레이블이있는 훈련 세트는 클래스 당 50 개의 샘플 크기를 갖습니다. 레이블이없는 데이터는 20,000 개의 추가 샘플을 제공합니다. 그러나이 샘플은 어떤 종류의 손상을 입었습니다. 우리가이 부패에 관한 한 경우에만 추가 정보는,이 첨가제 균일 한 잡음인지하고 잡음이 고정 된 P-규범 공에서 온다,

, 모두 여기서

와 반경

알려져 있지 않다. " 레이블이없는 데이터에서 가장 낮은 오류율을 얻어야합니다.

| | x | |_{p} \leq r

$||x||_p \leq r$

p

$p$

r

$r$

— Taeke de Haan

답변:

kjetil b halvorsen ( https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=758215 )이 제안한대로 종이에서 전체 솔루션을 찾았습니다 . 솔직히 배후의 수학을 이해하는 데 어려움이 있지만 최종 알고리즘은 매우 간단합니다. 우리가 차원 을 가지고 있다면 , 반경 과 규범 $n$ $r$ $p$ :

1) 생성 독립적 랜덤 실제 스칼라 , 지수에서 다른 전력 일반화 가우시안 분포이다 ( 를 대신 단지 ) $n$ $\varepsilon_i = \bar{G}(1/p, p)$ $\bar{G}(\mu, \sigma^2)$ $e^{−|x|^p}$ $p=2$

2) 벡터 구조체 성분 , 여기서 독립적 임의의 징후가 $x$ $s_i * \varepsilon_i$ $s_i$

3) 생성하십시오 . 여기서 $z = w^{1/n}$ $w$ 는 [0, 1] 간격으로 균일하게 분포 된 랜덤 변수입니다.

4) 반환 $y = r z \frac{x}{||x||_p}$

— 태케 드 한
소스

완전성 을 위해 답에

가 무엇인지 알 수 있습니까?

G

$G$

— Stéphane Laurent

업데이트되었습니다

— Taeke de Haan

G가 인 일반화 가우시안 분포 (지수에서 다른 전력

대신의

). 이것은 p-norm에 의존하는 단일 pdf의 곱인 다수의 독립적 인 일반 가우시안 분포 변수

로 구성된 벡터

대한 분포를 만듭니다 .

e^{- | x |^{p}}

$e^{-|x|^p}$

p = 2

$p=2$

x

$\mathbf{x}$

x_{i}

$x_i$

에프 (엑스) \propto {이자형}^{- | 엑스 |_{피}^{피}}

$f(\mathbf{x}) \propto e^{-\vert \mathbf{x} \vert_p^p}$

— Sextus Empiricus

@MartijnWeterings 감사합니다. 많이 업데이트되었습니다.

— Taeke de Haan 2016

감사. 정보를 위해 R 패키지 pgnorm 에이 분포의 샘플러가 있습니다.

— Stéphane Laurent

균일하게 분포 된 다변량 변수 사용

Taeke는 구체적으로 2-norm 및 1-norm 사례를 설명함으로써 아래 텍스트가보다 직관적 인 기사에 대한 링크를 제공합니다.

2- 노름 $\Vert x \Vert_2 \leq r$

샘플 방향

이 결과를 사용할 수 있습니다 http://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html

다변량 가우시안 분포 변수 (ID 공분산 행렬 포함)는 거리 또는 제곱합에만 의존합니다. $X$

f (X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}) = \prod_{1 \leq i \leq n} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{1}{2} x_{i}^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{1}{2} \sum_{1 \leq i \leq n} x_{i}^{2}}

$f(X_1,X_2,...,X_n) = \prod_{1\leq i \leq n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}x_i^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}\sum_{1 \leq i \leq n} x_i^2}$

따라서 는 n- 차원 대구면에 균일하게 분포되어있다. $\frac{X}{\Vert X \Vert_2}$

샘플 거리

완료하려면 구의 균일 분포를 공의 균일 분포로 변경하기 위해 거리 만 샘플링하면됩니다. (디스크 포인트 선택에 대한 링크 된 예와 다소 비슷합니다)

단순히 균일 한 분포로 을 샘플링 하는 경우 중심 근처에서 상대적으로 밀도가 높아집니다 (볼륨은 스케일 되므로 점 의 일부 은 볼륨 에 도달합니다. 중심이며 균일 한 분포를 의미하지 않습니다) $r$ $r^n$ $r$ $r^n$

대신 균일 분포에서 샘플링 된 변수 의 번째 근 을 사용하면 균일 한 분포를 얻게됩니다. $n$

1- 노름 $\Vert x \Vert_1 \leq r$

방향

이 경우 가우스 분포 대신 라플라스 분포에서 를 샘플링 하고 1- 노름으로 나눕니다. $X$ 은 n- 차원 1- 노름 구체에 균일하게 분포된다. $\frac{X}{\vert X \vert_1}$

공식적인 증거는없고 직감 만 있습니다

^{(pdf가 위치와 독립적이므로, 1- 노름이 동일한 무한대 영역 / 볼륨은 같은 확률 를 가질 것이며, 이것을 단위 표면으로 접을 때 동일한 $f(x) dV$ $f(x) dA$ )}

그러나 시뮬레이션 테스트는 좋아 보인다.

library(rmutil)
x <- abs(rlaplace(20000))
y <- abs(rlaplace(20000))
z <- abs(rlaplace(20000))
rn <- abs(x)+abs(y)+abs(z)

xi <- (x/rn)
yi <- (y/rn)
zi <- (z/rn)
plot(sqrt(0.5)*(xi-yi),
     sqrt((0.5-0.5*(xi+yi))^2+zi^2),
     pc=21,bg=rgb(0,0,0,0.02), col=rgb(0,0,0,0),cex=1)

거리

거리는 2- 노름 경우와 유사합니다 (볼륨은 여전히 $r^n$ ).

p- 노름 $\Vert x \Vert_p \leq r$

이 같은 원리를 따라하고자하는 경우이 경우, 당신이 분포에서 샘플링 할 필요가 (가설). 이것들은 일반 정규 분포 이며 아마도 분포 와 관련이 있습니다. $f(x) \propto e^{\vert x \vert^p}$ $G()$

— Sextus Empiricus
소스

p

$p$

n

$n$

r

$r$

p

$p$

z = w^{1 / n}

$z = w^{1/n}$

w

$w$

y = r z \frac{x}{| | x | |_{p}}

$y = r z \frac{x}{||x||_p}$

p- 노름 볼에서 균일 한 소음 발생 (

균일하게 분포 된 다변량 변수 사용

2- 노름 ∥x∥2≤r‖x‖2≤r\Vert x \Vert_2 \leq r

샘플 방향

샘플 거리

1- 노름 ∥x∥1≤r‖x‖1≤r\Vert x \Vert_1 \leq r

방향

거리

p- 노름 ∥x∥p≤r‖x‖p≤r\Vert x \Vert_p \leq r

2- 노름 $\Vert x \Vert_2 \leq r$

1- 노름 $\Vert x \Vert_1 \leq r$

p- 노름 $\Vert x \Vert_p \leq r$