정규 분포

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불행히도 어디서부터 시작해야할지 전혀 모르는 통계 문제가 있습니다. (내가 스스로 공부하고 있으므로 무언가를 이해하지 못하면 물어볼 사람이 없습니다.

질문은 ~이야

$X,Y$ IID $N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

self-study normal-distribution random-variable

— 앙
소스

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IID 일반 데이터를 다루므로 $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ 이 있고 을 원하는 경우를 살펴보면 문제를 약간 일반화하는 것이 $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$ . (귀하의 질문은 경우에 해당합니다 $n=2$ .) 다른 사용자가 지적했듯이 IID 정규 랜덤 변수의 제곱합은 비 중심 카이 제곱 랜덤 변수이므로 관심 분산을 얻을 수 있습니다. 그 분포에 대한 지식으로부터. 그러나 정규 분포 모멘트에 대한 지식과 결합 된 일반 모멘트 규칙을 사용하여 필요한 분산을 얻을 수도 있습니다 . 아래에서이를 수행하는 방법을 단계별로 보여 드리겠습니다.

정규 분포의 모멘트를 사용하여 분산 찾기 : 값 은 IID 이므로 (및 이 분포에서 를 일반 값으로 사용) 여기서 원시 모멘트를 . 이 원시 모멘트는 중심 모멘트 와 평균 사용 $X_1, ..., X_n$ $X$
$\begin{aligned} 큐_{엔} \equiv V (\sum_{나는 = 1}^{엔} {엑스}_{나는}^{2}) & = \sum_{나는 = 1}^{엔} V ({엑스}_{나는}^{2}) \\ = 엔 V ({엑스}^{2}) \\ = 엔 (이자형 ({엑스}^{4}) - 이자형 ({엑스}^{2})^{2}) \\ = 엔 (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}), \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$ $\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ $\mu_1' = \mathbb{E}(X)$ 표준 변환 공식 을 사용하면 정규 분포의 중심 모멘트를 찾아 대체 할 수 있습니다.

모멘트 변환 공식을 사용하면 분포 경우 평균 및 상위 중심 모멘트 , 및 입니다. 이것은 우리에게 원시 순간을 제공한다 :
$\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = μ_{2} + μ_{1}^{' 2}, \\ μ_{삼}^{'} & = μ_{삼} + 삼 μ_{1}^{'} μ_{2} + μ_{1}^{' 삼}, \\ μ_{4}^{'} & = μ_{4} + 4 μ_{1}^{'} μ_{삼} + 6 μ_{1}^{' 2} μ_{2} + μ_{1}^{' 4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $X \sim \text{N}(a,b^2)$ $\mu_1' = a$ $\mu_2 = b^2$ $\mu_3 = 0$ $\mu_4 = 3 b^4$ $\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = 비^{2} + ㅏ^{2}, \\ μ_{삼}^{'} & = 삼 ㅏ 비^{2} + ㅏ^{삼}, \\ μ_{4}^{'} & = 삼 비^{4} + 6 ㅏ^{2} 비^{2} + ㅏ^{4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ 이제이를 원래의 표현으로 대체하여 관심의 분산을 찾으십시오.

첫 번째 표현식으로 다시 특별한 경우에 대해 가 가질 . 이 결과는 척도 화 된 비 중앙 카이 제곱 분포에서 결과를 도출하는 대체 방법을 사용한 경우 얻을 수있는 솔루션과 일치 함을 알 수 있습니다.
$\begin{aligned} 큐_{엔} & = 엔 (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}) \\ = 엔 [(삼 비^{4} + 6 ㅏ^{2} 비^{2} + ㅏ^{4}) - (비^{2} + ㅏ^{2})^{2}] \\ = 엔 [(삼 비^{4} + 6 ㅏ^{2} 비^{2} + ㅏ^{4}) - (비^{4} + 2 ㅏ^{2} 비^{2} + ㅏ^{4})] \\ = 엔 [2 비^{4} + 4 ㅏ^{2} 비^{2}] \\ = 2 엔 비^{2} (비^{2} + 2 ㅏ^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $n=2$ $Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$

대체 작업은 비 중심 카이 제곱 분포의 사용을 기반 : 때문에 우리가 :이 분포의 알려진 분산을 사용하면 다음과 같습니다. 이 결과는 위의 결과와 일치합니다. $X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$
$\sum_{나는 = 1}^{엔} (\frac{{엑스}_{나는}}{비})^{2} \sim 비 중앙 Chi-Sq (케이 = 엔, λ = \frac{엔 ㅏ^{2}}{비^{2}}) .$ $\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$ $\begin{aligned} 큐_{엔} \equiv V (\sum_{나는 = 1}^{엔} {엑스}_{나는}^{2}) & = 비^{4} \cdot V (\sum_{나는 = 1}^{엔} (\frac{{엑스}_{나는}}{비})^{2}) \\ = 비^{4} \cdot 2 (케이 + 2 λ) \\ = 2 비^{4} (엔 + 2 \frac{엔 ㅏ^{2}}{비^{2}}) \\ = 2 엔 비^{2} (비^{2} + 2 ㅏ^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$

— 벤-복원 모니카
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스포일러 태그는 불필요하고 산만합니다.

— Alexis

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경우 및 이다 독립 확률 변수 후 는 랜덤 변수입니다. $X$ $Y$ $\text{N} (a, b^2)$ $\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$ $\chi ^2(2)$

거기에서 가져갈 수 있다고 생각하십니까?

— SOULed_Outt
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답은 비 중앙 카이 제곱 분포에 있습니다.

예를 들어, b = 1 인 경우 질문에 대한 답은 . 여기서 는 성분 수 ( 및 )입니다. $2(k + 2(a^2))$ $k=2$ $X$ $Y$

— 이드 나비 드
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