표준 편차가 무한대로 증가 할 때 정규 분포가 균일 분포로 수렴됩니까?

표준 편차가 한계없이 커지면 정규 분포가 특정 분포로 수렴됩니까? pdf는 의해 주어진 범위를 가진 균일 한 분포처럼 보이기 시작합니다 . 이것이 사실입니까?$[-2 \sigma, 2 \sigma]$

가우스의 RV가 결합하지 않고 분산이 증가함에 아무것도 수렴하지 않는 이유를 다른 답변은 이미 여기에 설명의 좋은 일을 할,하지만 난 가우시안의 이러한 수집하는 겉으로는 균일 한 특성을 지적하고 싶지 않습니다 내가 힘을 생각 충족을 누군가는 그들이 균일 해지고 있다고 추측하기에 충분하지만, 결론을 내릴만큼 강하지는 않습니다. $\newcommand{\len}{\text{len}}$

무작위 변수 \ {X_1, X_2, \ dots \} 의 집합을 고려하십시오. $\{X_1,X_2,\dots\}$여기서 $X_n \sim \mathcal N(0, n^2)$ 입니다. 하자 $A = [a_1,a_2]$ 유한 길이의 고정 된 간격, 그리고 일부 $c \in \mathbb R$ 정의 $B = A +c$ , 즉, $B$ 인 그러나 다만 의해 위로 이동 다 . 간격 들어 I = [i_1, I_2] 정의 \ LEN (I) = I_2-i_1을 길이로 I 및 참고 \ 렌 (A) = \ LEN (B) .$A$$c$$I = [i_1,i_2]$$\len (I) = i_2-i_1$$I$$\len(A) = \len(B)$

이제 다음 결과를 증명하겠습니다.

결과 : $\vert P(X_n \in A) - P(x_n\in B)\vert \to 0$ as $n \to \infty$ .

의 분포가 얼마나 멀리 떨어져 있더라도 동일한 확률을 갖는 동일한 길이의 고정 된 간격이 점점 두 개씩 증가 한다고 말하고 있기 때문에 이것을 균일 한 모양이라고 부릅니다 . 그것은 확실히 매우 균일 한 기능이지만, 우리가 볼 수 있듯이 이것은 의 실제 분포가 균일 한 것으로 수렴되는 것에 대해서는 아무 말도하지 않습니다 .X $X_n$$X_n$

Pf : 여기서 이므로 나는 바인딩 (매우 거친)를 사용할 수있는 얻을 X 1 ~ N ( 0 , 1 ) P ( X N ∈ ) = P ( 1 ≤ N X 1 ≤ 2 ) = P ( $X_n = n X_1$$X_1 \sim \mathcal N(0, 1)$=

$$P(X_n \in A) = P(a_1 \leq n X_1 \leq a_2) = P\left(\frac{a_1}{n} \leq X_1 \leq \frac{a_2}n\right)$$ E - (X) 2 / 2 ≤ 1 $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx.$$ $e^{-x^2/2} \leq 1$= len ( A $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} 1\,\text dx$$ $$= \frac{\text{len}(A)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

가 를 얻는 것과 동일한 작업을 수행 할 수 있습니다P ( X n ∈ B ) ≤ len ( B $B$

$$P(X_n \in B) \leq \frac{\text{len}(B)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

이것들을 정리하면 as (여기서 삼각형 부등식을 사용하고 있습니다).n→

$$\left\vert P(X_n \in A) - P(X_n \in B)\right\vert \leq \frac{\sqrt 2 \text{len}(A) }{n\sqrt{\pi}} \to 0$$ $n\to\infty$

$\square$

이것은 균일 분포로 수렴하는 과 어떻게 다릅니 까? 나는 같은 유한 길이의 두 고정 간격에 주어진 확률이 점점 더 가까워지고 직관적으로 밀도가 와 의 관점 에서 "평평 해짐"을 이해하는 것이 직관적임을 증명했습니다 .$X_n$$A$$B$

그러나 위해서는 균일 한 분포에 수렴, 내가 필요 했어 에 비례하는쪽으로 머리에 에 대한 임의의 간격 , 그것은 매우 다른 것 때문입니다 이것은 사전에 고정 된 것만이 아니라 모든 에 적용될 필요가있다 (그리고 다른 곳에서 언급 한 것처럼, 무한한지지를 가진 분포에서도 가능하지 않다). P ( X n ∈ I ) len ( I ) I $X_n$$P(X_n \in I)$$\text{len}(I)$$I$$I$

일반적인 실수는 분포가 모든 값이 0에 가까울 때 시각적으로 평평 해 보이기 때문에 분포가 균일하다고 생각하는 것입니다. 이것은 우리가 이지만 인 경향이 있기 때문입니다 . 즉 주위의 작은 간격 은 1000 배 더 주위의 작은 간격보다 가능성이 높습니다 .f ( x ) / f ( y ) = 0.001 / 0.000001 = 1000 x $f(x)=0.001 \approx 0.000001=f(y)$$f(x)/f(y)=0.001/0.000001=1000$$x$$y$

에 균일 한 분포가 없으므로 전체 실제 라인에서 균일하지 않습니다 . 또한 에서 거의 균일하지 않습니다 .[ - 2 σ , 2 σ $(-\infty,\infty)$$[-2\sigma,2\sigma]$

잘 알고있는 68-95-99.7 규칙에서 후자를 볼 수 있습니다. 에서 대략 균일 한 경우 두 간격이 동일하므로 및 있을 확률은 같아야합니다. 길이. 그러나 이것은 사실이 아닙니다 : 이지만 입니다.$[-2\sigma,2\sigma]$$[0,\sigma]$$[\sigma,2\sigma]$$P([0,\sigma])\approx 0.68/2= 0.34$$P([\sigma,2\sigma])\approx (0.95-0.68)/2 = 0.135$

실선 전체를 살펴보면이 정규 분포 순서는 확률 분포로 수렴되지 않습니다. 이것을 볼 수있는 몇 가지 방법이 있습니다. 예를 들어 표준 편차가 법선의 cdf 는 및 모든 의 CDF 아니며, 임의 전혀 랜덤 변수.에서 사실, 그것은 아니에요 CDF.$\sigma$$F_\sigma(x) = (1/2)(1+\mbox{erf}(x/\sqrt{2}\sigma)$$\lim_{\sigma\rightarrow\infty} F_\sigma(x) = 1/2$$x$

이 비 수렴이 "질량 손실"로 귀결되는 이유는 한계입니다. 정규 분포의 제한 함수는 실제로 "손실"확률을 갖습니다 (즉, 무한대로 탈출 했습니다). 이는 일련의 임의 변수가 다른 임의 변수에 수렴하는 데 필요한 조건을 제공하는 측정 값 의 엄격함 개념과 관련이 있습니다.

귀하의 문은 주어진 범위와 균일 한 분포처럼 보이는 PDF로 시작$[−2σ,2σ]$ 사용자가 조정할 경우 정확하지 넓은 표준 편차를 일치합니다.$\sigma$

0을 중심으로 한 두 개의 일반 밀도에 대한이 차트를 고려하십시오. 빨간색 곡선은 표준 편차 에 해당하고 파란색 곡선은 표준 편차 에 해당하며 실제로 파란색 곡선이 에서 거의 평평한 경우입니다$1$$10$$[-2,2]$

그러나 인 파란색 곡선의 경우 실제로 에서 모양을보고 있어야합니다 . 축과 축을 모두 배로 조정 하면 다음 플롯이 표시 되며이 플롯에서 파란색 밀도의 모양이 이전 플롯의 빨간색 밀도와 정확히 동일하게 나타납니다. $\sigma=10$$[-20,20]$$x$$y$$10$

귀하의 질문은 근본적으로 결함이 있습니다. 표준 정규 분포가 매우 축소된다 . 따라서 다른 가우스 분포 ( )의 경우 경계 사이의 곡선 은 표준 정규 분포와 모양이 같습니다. 유일한 차이점은 스케일링 계수입니다. 따라서 로 나누어 가우스 크기를 조정 하면 표준 정규 분포로 끝납니다.$\sigma = 1$$\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$[-2\sigma^*, 2\sigma^*]$$\sigma^*$

이제 가우스 분포 ( )가 있으면 로 yes이면 사이의 영역 이 더 평평 해집니다.$\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$\sigma^* \rightarrow \infty$$[-2, 2]$