긴 꼬리의 푸 아송 누적 분포의 간단한 근사치?

주어진 대해 미만의 잔차 확률 이 오버플로 되도록 테이블 의 용량 를 결정하고 싶습니다. 항목 수가 주어진 Poisson 법칙을 따른 다고 가정합니다. 기대치 . $C$ $2^{-p}$ $p\in[40\dots 120]$ $E\in[10^3\dots 10^{12}]$

이상적으로, 나는 최소의 정수를 원하는 C같은 것을 1-CDF[PoissonDistribution[E],C] < 2^-p부여를 위해 p와 E; 그러나 나는 C그것보다 약간 높은 것에 만족 합니다. Mathematica는 수동 계산에는 적합하지만 컴파일 타임 과 컴파일 타임 에 계산 C하고 싶습니다 .64 비트 정수 산술로 제한됩니다.pE

업데이트 : Mathematica (버전 7) e = 1000; p = 40; c = Quantile[PoissonDistribution[e], 1 - 2^-p]는 1231옳고 보입니다 (@Procrastinator 덕분에). 그러나 모두에 대한 결과 p = 50및 p = 60입니다 1250안전하지 않은 측면에 잘못 (그리고 문제 : 내 실험과 같은 반복 배 이상, 나는 명백히 미만 원하는 실패의 전반적인 확률). 컴파일 타임에 C (++)에서 사용할 수있는 64 비트 정수 산술 만 사용하여 조잡하지만 안전한 근사치 를 원합니다 . $2^{25}$ $2^{-30}$

poisson-distribution

— fgrieu
소스

어때요 C = Quantile[PoissonDistribution[E],1-2^p]?

푸 아송의 확률 질량 함수의 주요 용어는 꼬리에서 지배적입니다.

— 추기경

@Procrastinator : 매스 매 티카의 작품 (의 기호를 제외한 네 것을 p, 정밀 문제, 이름 E과 C그이 예약되어 있습니다). 그러나 64 비트 정수 arityhmetic 만 사용하여 원유 (그러나 안전한면)에 대한 간단한 근사가 필요합니다!

— fgrieu

업데이트 : Mathematica 8은 대해 1262를 , 대해 1290을 반환합니다 . 다시 정규 근사 (@Proc) : 꼬리에서 잘 작동 할 것으로 예상 할 수 없으며 이는 계산에 중요합니다.

p = 50

$p=50$

p = 60

$p=60$

— whuber

아마도 당신은 stackoverflow에 요청해야합니다. 나는 당신이 가진 제약에 익숙하지 않습니다. 동적 메모리 할당을 사용하지 못하게하는 이유 또는 분기를 사용하여 배열 크기를 결정할 수 있는지 또는 필요한 크기의 두 배인 배열을 정의하는 데 드는 비용은 무엇입니까? 그것의). 와 같은 함수 가 당신은 정확한 대답, 당신은 당신의 제약 조건 하에서 근사를 구현할 수 있습니까? 지금은 프로그래밍 문제처럼 보입니다.

μ + \sqrt{\log \log μ} \log μ \sqrt{μ} + p \frac{\sqrt{μ}}{\log μ}

$\mu + \sqrt{\log\log \mu} \log \mu \sqrt \mu + p \frac{\sqrt{\mu}} {\log \mu}$

— Douglas Zare

답변:

평균이 큰 포아송 분포는 대략 정규이지만 꼬리 경계를 원하고 꼬리 근처에서 정규 근사값이 비례 적으로 덜 정확해야합니다.

이 MO 질문 과 이항 분포에 사용되는 한 가지 접근 방식 은 테일이 기하 계열보다 더 빠르게 감소한다는 것을 인식하여 기하 계열로 명시적인 상한을 작성할 수 있습니다.

\begin{array}{rcl} \sum_{k = D}^{\infty} \exp (- μ) \frac{μ^{k}}{k!} & < & \sum_{k = D}^{\infty} \exp (- μ) \frac{μ^{D}}{D!} (\frac{μ}{D + 1})^{k - D} \\ = & \exp (- μ) \frac{μ^{D}}{D!} \frac{1}{1 - \frac{μ}{D + 1}} \\ < & \exp (- μ) \frac{μ^{D}}{\sqrt{2 π D} (D / e)^{D}} \frac{1}{1 - \frac{μ}{D + 1}} \\ = & \exp (D - μ) (\frac{μ}{D})^{D} \frac{D + 1}{\sqrt{2 π D} (D + 1 - μ)} \end{array}

$\begin{eqnarray}\sum_{k=D}^\infty \exp(-\mu)\frac{\mu^k}{k!} & \lt & \sum_{k=D}^\infty \exp(-\mu) \frac{\mu^D}{D!}\bigg(\frac \mu{D+1}\bigg)^{k-D} \\ & = & \exp(-\mu)\frac{\mu^D}{D!}\frac{1}{1-\frac{\mu}{D+1}} \\ & \lt & \exp(-\mu) \frac{\mu^D}{\sqrt{2\pi D}(D/e)^D} \frac{1}{1-\frac{\mu}{D+1}} \\ & = & \exp(D-\mu) \bigg(\frac{\mu}{D}\bigg)^D \frac{D+1}{\sqrt{2\pi D} (D+1-\mu)}\end{eqnarray}$

2 행 3 행은 스털링의 공식과 관련이있다. 실제로 바이너리 검색을 사용하여 숫자 를 풀고 싶다고 생각합니다 . 의 초기 추측으로 시작하는 뉴턴의 방법작동해야합니다. $\to$ $-p \log 2 = \log(\text{bound})$ $D = \mu + c \sqrt \mu.$

예를 들어 및 인 경우 얻는 숫자 솔루션은 1384.89입니다. 평균이 포아송 분포는 확률이 에서 사이 의 값을숫자 내지 확률로 발생할 $p=100$ $\mu = 1000$ $1000$ $0$ $1384$ $1-1/2^{100.06}.$ $0$ $1383$ $1-1/2^{99.59}.$

— 더글러스 자레
소스

+1. 또 다른 접근법은 포아송 꼬리 확률 (오른쪽)과 감마 분포의 꼬리 확률 (왼쪽)을 새들 포인트 근사로 밀접하게 (과도하게) 추정 할 수있는 것과 관련이 있습니다.

— whuber

64 비트 정수 연산 (exp, log, sqrt ..없이)으로 제한되는 것에 이르기까지 먼 길이 있지만, 나는 그것을 할 것입니다. 모두 감사합니다!

— fgrieu

(+1)는 스털링의 근사치의 호출까지가 (무관하다)입니다 정확히 은 영업 이익 내 댓글에 참조 내가 (불투명)이었다 바인딩. (예를 들어, 여기를 참조하십시오 .)

— 추기경

P. Harremoës : Poisson 랜덤 변수의 꼬리 확률에 대한 날카로운 경계 https://helda.helsinki.fi/bitstream/handle/10138/229679/witmse_proc_17.pdf 주요 불평등은 다음과 같습니다. 하자 매개 변수 포아송 확률 변수가 될 . 넣어 하자 표준 정규 법에 대한 누적 분포 함수를 나타낸다. 그런 다음 모든 정수 에 대해 이는 와 같습니다. 모든 정수 대해 $Y$ $\lambda$

G (x) = \sqrt{2 (x \ln \frac{x}{λ} + λ - x)} s i g n (x - λ) .

$G(x)= \sqrt{2\left(x\ln \frac{x}{\lambda} +\lambda-x\right)} \ \ {\rm sign} \left(x-\lambda\right).$

Φ

$\Phi$

k \geq 0

$k\ge 0$

P (Y < k) \leq Φ (G (k)) \leq P (Y \leq k),

${\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k)) \le {\bf P}(Y\le k),$

Φ (G (k - 1)) \leq P (Y < k) \leq Φ (G (k))

$\Phi(G(k-1)) \le {\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k))$

k > 0

$k>0$ . 또한, 의미하는 모든 정수 대해 입니다 .

Φ (G (k + (1 / 2))) \leq P (Y \leq k)

$\Phi(G(k+(1/2))) \le {\bf P}(Y\le k)$

Φ (G (k - 1 / 2)) \leq P (Y < k) \leq Φ (G (k))

$\Phi(G(k-1/2)) \le {\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k))$

k > 0

$k>0$

— 파벨 루 잔킨
소스

만약 당신이 한때 링크가 죽었을 때 도움이 될 주요 방정식 (하나 나 둘만 있다고 가정)을 쓸 수 있다면.

— jbowman