상관 된 랜덤 변수의 차이에 대한 경계

두 개의 상관 관계가 높은 임의 변수가 주어짐 $X$ 과 $Y$ , 나는 그 차이가 $|X - Y|$ 금액을 초과합니다 :

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

다음과 같은 단순성을 가정하십시오.

상관 계수는 "높은"것으로 알려져 있습니다. $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
$X,Y$ 제로 평균 $\mu_x = \mu_y = 0$
$-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (또는 $0 \leq x_i, y_i \leq 1$ 그것이 더 쉬운 경우)
(더 쉽게 할 수 있다면 $X,Y$ 동일한 분산이 있습니다. $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$ )

위의 정보 만 주어진 차이점에 대한 경계를 이끌어내는 것이 얼마나 실현 가능한지 확실하지 않습니다 (확실히 어디에서도 얻을 수 없었습니다). 특정 솔루션 (있는 경우), 배포에 적용하기위한 필수 추가 제한 사항 또는 접근 방식에 대한 조언 만 있으면 좋습니다.

correlation mathematical-statistics bounds

— 아반티 89
소스

이러한 간단한 가정이 없어도 몇 가지 일반적인 도구를 결합하여 한계를 얻을 수 있습니다.

세부 사항 :

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot c o v (X, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

c o v (X, Y) = σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

체비 쇼프의 불평등에 따르면, 임의의 변수에 대해 $Z$ :

Pr (| Z - μ | \geq k σ) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

그런 다음 . $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

Pr (| X - Y - μ_{X} + μ_{Y} | \geq k \cdot \sqrt{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

제안 된 단순화 가정을 사용하여 더 간단한 표현을 얻을 수 있습니다. 언제:

ρ_{X, Y} = c o v a r (X, Y) / σ_{X} σ_{Y} = 1 - ϵ

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{x} = μ_{y} = 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{X}^{2} = σ_{Y}^{2} = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

그때:

σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y} = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ϵ)) = 2 σ^{2} ϵ

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

따라서:

Pr (| X - Y | \geq k \cdot σ \sqrt{2 ϵ}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

흥미롭게도,이 결과는 이 작지 않아도 상관 관계가 에서 변경되면 결과가 변경되지 않습니다 (이미 불평등이기 때문에). $\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— 페레
소스