반응이 네 번째 근본으로 변환 될 때 회귀 계수를 해석하는 방법은 무엇입니까?

1/4이 분산의 결과로 응답 변수에 네 번째 근 ( ) 전력 변환을 사용하고 있습니다. 그러나 이제 회귀 계수를 해석하는 방법을 모르겠습니다.

역변환 할 때 계수를 네 번째 거듭 제곱으로 가져와야한다고 가정합니다 (회귀 출력 참조). 모든 변수는 수백만 달러로 표시되지만 수십억 달러의 변화를 알고 싶습니다.

다른 독립 변수를 일정하게 유지하면서 평균 10 억 달러의 수수료 변경으로 인해 32컬렉션 의 변경 (또는 32,000 달러)이 발생합니다. 나는 0.000075223 * 1000(십억에 도달하기 위해) 가져 가라 ^ 4 = 0.000032. 이제이 숫자에 백만 또는 10 억을 곱합니까 (종속 변수의 원래 단위는 백만입니다)?

lm(formula = (Collections^(1/4)) ~ Fees + DIR)

                 Estimate      Std. Error  t value            Pr(>|t|)
(Intercept)   2.094573355     0.112292375   18.653  0.0000000000000151
Fees        **0.000075223   **0.000008411    8.943  0.0000000131878713
DIR           0.000022279     0.000004107    5.425  0.0000221138881913

가장 좋은 해결책은 처음에 연구 분야에서 의미가있는 재 발현을 선택하는 것입니다.

독립적 인 요인에 체중의 기능에 영향을 미치지 때 (예를 들어, 그것은 가능성이 큐브 루트 (그 중 하나입니다 전원) 또는 제곱근 ( (1) / 2 전원) 표시됩니다. 그 무게를 주목되는 볼륨에 대한 좋은 프록시, 큐브 루트 A는 길이 특성 선형 크기를 나타내는 직관적 잠재적 해석 의미이 부여한다 그것을 제곱근 자체가 이러한 명확한 해석은 없지만, 그 근처에있다.. 2 / 3 의 치수를 갖는 전력, 표면적 : 그것은 총 피부 면적에 해당 할 수 있습니다.)$1/3$$1/2$$2/3$

네 번째 거듭 제곱은 대신 로그 사용을 고려해야하는 로그에 충분히 가까우며 그 의미는 잘 이해됩니다. 그러나 때때로 우리는 입방체 뿌리 또는 제곱근 또는 일부 분 수력이 큰 역할을한다는 것을 실제로 이해하고 명백한 해석이 없습니다. 그런 다음 약간의 산술을 수행해야합니다.

문제에 표시된 회귀 모형에는 종속 변수 ( "수집")와 두 개의 독립 변수 X 1 ( "Fees") 및 X 2 ( "DIR")가 포함됩니다. 그것은$Y$$X_1$$X_2$

$$Y^{1/4} = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 +\varepsilon.$$

이 코드는 을 b 0 = 2.094573355로 , β 1 을 b 1 = 0.000075223으로 , β 2 를 b 2 = 0.000022279로 추정 합니다. 또한 ε 은 평균이 0 인 iid 정규 값으로 가정 하고 공통 분산 (미도시)을 추정합니다. 이 추정치에서 Y 1 / 4 의 적합치 는$\beta_0$$b_0=2.094573355$$\beta_1$$b_1=0.000075223$$\beta_2$$b_2=0.000022279$$\varepsilon$$Y^{1/4}$

$$\widehat{Y^{1/4}} = b_0 + b_1 X_1 + b_2 X_2.$$

회귀 계수의 "통역"은 일반적으로 종속 변수의 변화가 각 독립 변수의 주어진 변화에 의해 제안되는 것을 결정하는 것을 의미합니다. 이러한 변경 유도체는 체인 규칙이 우리에게, 동등한 4 β I Y 3 . 추정값을 입력하고 다음과 같이 말합니다.$dY/dX_i$$4\beta_iY^3$

부에서 변화하는 회귀 추정치 의 변화와 연관 될 Y 의 4 B 나 Y 3 = 4 (B) 나 ( b는 0 + B 1 X 1 + B 2 X 2 ) (3) .$X_i$$Y$$4b_i\widehat{Y}^3$$4b_i\left(b_0+b_1X_1+b_2X_2\right)^3$

의 해석에 의존 및 X 2는 단순히 말로 표현되지$X_1$$X_2$ 없이 변형과 상황 달리 (하나의 유닛 변화 X는 난 의 변화와 관련된 B I 에서 Y ) 또는 로그 (하나 X i 에서의 퍼센트 변화는 Y 에서의 b i 퍼센트 변화 와 관련이있다 ). 그러나 해석의 첫 번째 형태를 유지하고 계산하여 4 b 1 = 4 × 0.000075223 = $Y$$X_i$$b_i$$Y$$X_i$$b_i$$Y$$4b_1$$4\times 0.000075223$$0.000301$우리는 다음과 같이 말할 수 있습니다.

수수료의 단위 변경 은 현재 컬렉션 큐브의 배 컬렉션 변경과 관련이 있습니다. 예를 들어, 현재 컬렉션이 10 인 경우 수수료의 단위 증가는 컬렉션 의 0.301 증가와 관련이 있으며 현재 컬렉션이 20 인 경우 동일한 단위의 수수료 증가는 컬렉션 의 2.41 증가와 관련이 있습니다.$0.000301$$10$$0.301$$20$$2.41$

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사용 말하자면 - 네번째 이외 뿌리 찍을 때 보다는 응답으로 Y 와 자체 (P)에 간단하게 "모두 외관 교체 - 제로 4 "에 의해 분석이 " 1 / P를 ". $Y^p$$Y$$p$$4$$1/p$

여기서 변형의 대안은 링크 함수 전력 및 전력 1/4을 갖는 일반화 된 선형 모델을 사용하는 것입니다. 사용할 오류 패밀리가 열려 있으므로 선형 회귀 분석과 조건부 정규성 가정보다 유연성이 향상됩니다. 이 절차의 주요 장점 중 하나는 예측이 원래 측정 스케일에서 자동으로 생성되므로 역변환에 대한 의문의 여지가 없다는 것입니다.

나는 로그 변화를 피하고 관찰을 버리지 않으면 서 백분율 변화에 대해 생각할 때 quartic root regression coefficient를 사용하는 논문을 보았습니다.

백분율 변화를 계산하기 위해 quartic roots에 관심이 있다면 다음을 알고 있습니다.

$\hat{Y} = (\alpha + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2)^4 \implies \frac{d\hat{Y}}{dX_1} = 4\hat{\beta}_1(\alpha+\hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2)^3$

$Y$$X$$X$

$\frac{d\hat{Y}/dX_1}{Y} = \frac{4\hat{\beta}_1}{\alpha + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2}$

$Y$$X$

$\frac{d\hat{Y}}{dX_1}\frac{X_1}{\hat{Y}} = \frac{4\hat{\beta}_1 X_1}{\alpha + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2}$

$X$

$Y^{1/4}$