낚시 문제

오전 8 시부 터 오후 8 시까 지 인근 호수에서 낚시를한다고 가정 해 봅시다. 남획으로 인해 하루에 한 마리의 물고기 만 잡을 수 있다는 법률이 제정되었습니다. 물고기를 잡을 때 물고기를 유지하거나 (물고기와 함께 집으로 돌아가서) 다시 호수로 던져 낚시를 계속할 수 있습니다 (하지만 나중에 작은 물고기로 정착하거나 전혀 물고기가없는 위험). 가능한 한 큰 물고기를 잡으려고합니다. 특히 집에 가져 오는 물고기의 예상 질량을 최대화하려고합니다.

공식적으로, 우리는이 문제를 다음과 같이 설정할 수 있습니다 : 물고기는 일정 비율로 잡히고 (따라서 다음 물고기를 잡는 데 걸리는 시간은 알려진 지수 분포를 따릅니다), 잡은 물고기의 크기는 일부 (또한 알려진) 분포를 따릅니다. . 우리는 현재 시간과 방금 잡은 물고기의 크기를 감안할 때 물고기를 유지할 것인지 되돌릴 것인지 결정하는 결정 과정을 원합니다.

문제는이 결정을 어떻게 내려야 하는가입니다. 낚시를 중단 할시기를 결정하는 간단한 (또는 복잡한) 방법이 있습니까? 문제는 주어진 시간 (t) 동안 최적의 어부가 시간 (t)에 시작하면 집으로 가져갈 것으로 예상되는 물고기의 질량을 결정하는 것과 같다고 생각합니다. 최적의 결정 과정은 물고기가 예상 질량보다 무거울 경우에만 물고기를 유지합니다. 그러나 그것은 일종의 자기 참조적인 것 같습니다. 우리는 최적의 어부 측면에서 최적의 어업 전략을 정의하고 있으며 어떻게 진행해야할지 잘 모르겠습니다.

하자 포아송 과정을 나타내고 속도 및하자 물고기 입도 분포의 누적 분포 함수이다.$\lambda$$S(x)=1-F(x)$$F(x)$

하자 나타낸다 하루의 끝을과하도록 , , 간격의 예상 캐치 나타낸다 최적의 전략을 사용하는 경우 우리가 얻을 수 있습니다. 분명히 입니다. 또한 시간 에서 크기의 물고기를 잡으면 보다 큰 물고기를 유지하고 낚시를 중단해야합니다 . 이것이 우리의 결정 규칙입니다. 따라서 프로세스의 실현과 실현 된 결정 (녹색 지점)은 다음과 같습니다.$t=0$$g(t)$$t\le 0$$(t,0)$$g(0)=0$$x$$t$$g(t)$

확률 론적 동적 ​​프로그래밍의 아이디어를 사용하여 연속 시간으로 작업하면서 시간의 역으로 의 변화 는 간단한 미분 방정식으로 설명됩니다. 무한 시간 간격 고려하십시오 . 이 시간 간격에서 크기의 물고기를 잡을 확률 은 그렇지 않으면 예상되는 잡기는 입니다.$g(t)$$(t-dt,t)$$X>g(t)$

$$\lambda dt S(g(t)),$$ $g(t)$

평균 잔류 수명 공식을 사용하여 로 보다 큰 물고기의 예상 크기$g(t)$

$$E(X|X>g(t))=g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx.$$

따라서 총 기대 법칙을 사용하여 구간 에서 예상 된 포획 은 $(t-dt,0)$

$$g(t-dt) =[\lambda dt S(g(t))][g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx] + [1-\lambda dt S(g(t)] g(t).$$

재 배열하면 가 만족 한다는 것을 알 수 하루의 끝을 향한 가 Poisson rate 와 평균 물고기 크기 의 곱과 같은 속도로 어떻게 감소 하는지 주목 하십시오 . 그 점은 우리가 잡을 수있는 물고기를 지키는 것이 가장 좋습니다.$g(t)$

$$\frac{dg}{dt}=-\lambda \int_{g(t)}^\infty S(x) dx. \tag{1}$$ $g(t)$$\lambda$$\int_0^\infty S(x)dx$

실시 예 1 : 가정 물고기 크기 것을 되도록 . 식 (1) 은 분리 가능한 미분 방정식 인 로 단순화 된다. 위의 경계 조건을 사용하여 솔루션은 위 그림에서 대한 대해 입니다. 다음 코드는 시뮬레이션을 기반으로 계산 된이 전략을 사용하여 평균 캐치를 이론적 평균 와 비교합니다 .$X\sim \exp(\alpha)$$S(x)=e^{-\alpha x}$

$$\frac{dg}{dt}=-\frac\lambda\alpha e^{-\alpha g(t)}$$ $$g(t) = \frac1\alpha\ln(1-\lambda t),$$ $t\le 0$$\alpha=\lambda=1$$g(-12)$

g <- function(t,lambda, rate) {
  1/rate*log(1-lambda*t)
}
catch <- function(daylength=12, lambda=1, rfn=runif, gfn=g, ...) {
  n <- rpois(1,daylength*lambda)
  starttime <- -daylength
  arrivaltimes <- sort(runif(n,starttime,0))
  X <- rfn(n,...)
  j <- match(TRUE, X > gfn(arrivaltimes,lambda,...))
  if (is.na(j))
    0
  else
    X[j]
}
nsim <- 1e+5
catches <- rep(0,nsim)
for (i in 1:nsim)
  catches[i] <- catch(gfn=g,rfn=rexp,rate=1,lambda=1)
> mean(catches)
[1] 2.55802
> g(-12,1,1)
[1] 2.564949

실시 예 2 : 만약 (A)에 유사한 도출 리드 (1)의 용액. 가 로 최대 물고기 크기를 나타내는 방법에 주목하십시오 .$X \sim U(0,1)$

$$g(t) = 1 - \frac1{1-\lambda t/2}$$ $g(t)$$t\rightarrow -\infty$