분산 및 표준 편차 최적 솔루션은 어떤 문제 또는 게임입니까?

주어진 임의의 변수 (또는 모집단 또는 확률 적 과정)에 대해 수학적 기대는 질문에 대한 답입니다. 어떤 점 예측이 예상되는 제곱 손실을 최소화합니까? . 또한, 게임에 최적의 솔루션이 확률 변수의 다음 실현 (또는 인구에서 새 무승부)를 추측, 나는 가치와 당신의 생각 사이의 제곱 거리에서 당신을 처벌 할 것이다 당신이 측면에서 선형 효용이있는 경우 형벌. 중앙값은 절대 손실에서 해당 질문에 대한 답변이고 모드는 "모두 또는 없음"손실에서 답변입니다.

질문 : 분산과 표준 편차가 비슷한 질문에 대답합니까? 그들은 무엇인가?

이 질문에 대한 동기는 중심 경향과 확산의 기본 척도를 가르치는 데 있습니다. 중심 경향의 측정은 위의 의사 결정 이론적 문제에 의해 동기를 부여받을 수 있지만, 어떻게 확산의 측정에 동기를 부여 할 수 있을지 궁금합니다.

— 리차드 하디
소스

매우 흥미로운 질문입니다. 나의 첫 번째 접근법은 "게임"은 질적으로 말해서 이미 설명한 것과 동일하지만, 질문은 대답 이 한 점 대신에 값 의 범위 에 대한 것으로 예상한다는 점을 제외하고 는 참조는 다소 불완전한 (무의미하지는 않지만) 정보입니다.

— Emil

분산 자체는 예상입니다. 이면 입니다.

Y = (X - μ)^{2}

$Y=(X-\mu)^2$

Var (X) = E (Y)

$\text{Var}(X)=E(Y)$

— Glen_b-복귀 모니카

@ Glen_b, 당신이 맞습니다. 그리고 그것을 얻었습니다 (질문 텍스트에 포함시켜야합니다). "다음 값과 기대 값의 차이를 생각하면 2 차적으로 벌을받을 것입니다."가 게임이 될 것입니다. 그게 최고입니까? 실용적이거나 재미있는 게임이 아닙니다. IMHO.

— Richard Hardy

내가 의도 한대로 질문을 이해했다면 임의의 변수에 대한 독립적 인 실현을 얻을 수있는 설정을 염두에두고 있습니다. $X$ 어떤 배포로 $F$ 유한 한 차이 $\sigma^2(F)$ ). "게임"은 기능에 의해 결정됩니다 $h$ 과 $\mathcal L$ 설명 될 것이다. 다음 단계와 규칙으로 구성됩니다.

상대 ( "자연")가 공개 $F.$
응답으로 당신은 숫자를 생산 $t(F),$ "예측"

게임 결과를 평가하기 위해 다음 계산이 수행됩니다.

샘플 $n$ iid 관찰 $\mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n$ 에서 가져온 $F.$
미리 정해진 기능 $h$ 샘플에 적용되어 숫자를 생성합니다. $h(\mathbf{X}),$ "통계"
"손실 기능" $\mathcal{L}$ "예측"을 비교합니다 $t(F)$ 통계에 $h(\mathbf{X}),$ 음수가 아닌 숫자 생성 $\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})).$
게임의 결과는 예상되는 손실 (또는 "위험")입니다
$R_{(L, h)} (t, F) = E (L (t (F), h (X))) .$ $R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))).$

당신의 목표는 일부를 지정하여 자연의 움직임에 응답하는 것입니다 $t$ 위험을 최소화합니다.

예를 들어, 함수가있는 게임에서 $h(X_1)=X_1$ 그리고 형태의 손실 $\mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2$ 양수 $\lambda,$ 당신의 최적의 움직임은 선택하는 것입니다 $t(F)$ 기대하다 $F.$

우리 앞에있는 질문은

존재 하는가 $\mathcal{L}$ 과 $h$ 최적의 움직임이 선택되는 $t(F)$ 차이가 $\sigma^2(F)$ ?

이것은 기대 값으로 분산을 보여줌으로써 쉽게 대답 할 수 있습니다. 한 가지 방법은

h (X_{1}, X_{2}) = \frac{1}{2} (X_{1} - X_{2})^{2}

$h(X_1,X_2) = \frac{1}{2}(X_1-X_2)^2$ 이차 손실을 계속 사용

L (t, h) = (t - h)^{2} .

$\mathcal{L}(t,h) = (t-h)^2.$ 그것을 관찰하면

E (h (X)) = σ^{2} (F),

$E(h(\mathbf{X})) = \sigma^2(F),$

이 예는 우리가 $h$ 이 $\mathcal L$ 분산에 관한 질문에 답하십시오.

표준 편차는 어떻습니까 $\sigma(F)$ ? 다시, 우리는 표본 통계의 기대치로서 이것을 보여줄 필요가 있습니다. 그러나 우리가 제한 할 때조차 불가능 합니다. $F$ 베르누이 가족에게 $(p)$ 분포는 다항식 함수의 편견 추정치 만 얻을 수 있습니다. $p,$ 그러나 $\sigma(F) = \sqrt{p(1-p)}$ 도메인에서 다항 함수가 아닙니다 $p\in (0,1).$ ( 이항 분포의 경우 편견 추정기가없는 이유는 무엇입니까? $1/p$ ? 이항 분포에 대한 일반적인 주장은 평균화 후이 질문을 줄일 수있다 $h$ 의 모든 순열에 $X_i.$ )

— 우버
소스

내 질문에 대한 명확한 표현과 똑같이 명확한 답변에 감사드립니다. 당신은 또한 예를 들어 주시겠습니까

h

$h$ 그것은 모든 것에 달려있다

n

$n$ 두 개가 아닌 샘플 포인트?

— Richard Hardy

출발하는 표준 방법이 있습니다

2

$2$ 에

n

$n$ : 모든 쌍과 평균에 대한 통계를 계산합니다. 실제로, 그것은 stats.stackexchange.com/a/18200/919 에서 공분산의 특성을 나타냅니다 . 이것의 공식적인 이론에 대해서는 U 통계 에 대해 읽으십시오 .

— whuber

대단히 감사합니다!

— Richard Hardy