평균 (또는 다른 순간)이 존재하지 않는 음이 아닌 이산 분포의 예?

나는 scipy에서 약간의 일을하고 있었고 음이 아닌 이산 랜덤 변수가 정의되지 않은 순간을 가질 수 있는지 여부에 대한 핵심 scipy 그룹의 구성원과 대화가 나왔습니다. 나는 그가 정확하지만 증거가 없다고 생각합니다. 누구든지이 주장을 보여 주거나 증명할 수 있습니까? (또는이 주장이 사실이 아닌 경우)

불연속 랜덤 변수가 지원하는 경우 편리한 예가 없지만, Cauchy 분포의 이산화 된 일부 버전이 정의되지 않은 순간을 얻는 예제로 작용하는 것 같습니다. 비 음성 조건 (아마도 포함 )은 (적어도 나를 위해) 문제를 도전적으로 만드는 것으로 보입니다.$\mathbb{Z}$$0$

정수 에서 CDF 과 같게 하고 다른 곳 부분적으로 상수를 유지하고 모든 기준에 따라 CDF가 적용되도록합니다. 기대는$F$$1-1/n$$n=1,2,\ldots,$

$$\int_{0}^\infty (1-F(x))\mathrm{d}x = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

분기합니다. 이런 의미에서 첫 순간 (따라서 더 높은 순간)은 무한합니다. (자세한 설명은 끝에있는 설명을 참조하십시오.)

---

이 표기법이 불편하면$n=1,2,3,\ldots,$

$${\Pr}_{F}(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1.}$$

각 항이 양수이고

$$\sum_{n=1}^\infty {\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1.$$

기대는

$$\sum_{n=1}^\infty n\,{\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

분기합니다.

답을 표현하는이 방법은 모든 솔루션이 그러한 다양한 계열에 의해 얻어진 다는 것을 분명히합니다 . 실제로 양의 값 의 일부 하위 집합에서 확률이 합산되도록 분포를 지원 하려면 계열이 분산 될 것으로 기대합니다. 그것을 표현하는 것, 즉$x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots,$$p_1, p_2, \ldots$

$$(a_n) = (x_n p_n),$$

발산 부분 합이 있어야합니다.

반대로, 음수가 아닌 숫자의 모든 발산 계열 은 발산 기대 값을 갖는 많은 개별 양수 분포와 관련이 있습니다. $(a_n)$ ( N ) ( X의 N ) ( P는 N ) Q , N = 2 - N Y N = 2 , N N , N = 1 , 2 , ... . Ω y n Ω = { ω 1 , ω 2 , … , ω i , … } , Ω 예를 들어 이 주어지면 다음 알고리즘을 적용하여 시퀀스 및 을 결정할 수 있습니다 . 대해 및 을 설정하여 시작하십시오이러한 방식으로 발생하는 모든 집합으로 를 정의 하고 해당 요소를 하고 에 대한 확률 분포를 정의하십시오. 으로$(a_n)$$(x_n)$$(p_n)$$q_n = 2^{-n}$$y_n = 2^n a_n$$n=1, 2, \ldots.$$\Omega$$y_n$$\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_i, \ldots\},$$\Omega$

$$\Pr(\omega_i) = \sum_{n \mid y_n = \omega_i}q_n.$$

의 합 때문 작동 의 합과 동일 이다 하고 대부분에서 긍정적 인 요소의 셀 수있는 번호가 있습니다.$p_n$$q_n,$$1,$$\Omega$

예로서, 일련 분명 발산한다. 알고리즘은$(a_n) = (1, 1/2, 1, 1/2, \ldots)$

$$y_1 = 2a_1 = 2;\ y_2 = 2^2 a_2 = 2;\ y_3 = 2^3 a_3 = 8; \ldots$$

따라서

$$\Omega = \{2, 8, 32, 128, \ldots, 2^{2n+1},\ldots\}$$

의 홀수 양의 제곱의 집합 이며$2$

$$p_1 = q_1 + q_2 = 3/4;\ p_2 = q_3 + q_4 = 3/16;\ p_3 = q_5 + q_6 = 3/64; \ldots$$

---

무한하고 존재하지 않는 순간에 대하여

모든 값이 양수이면 "정의되지 않은"모멘트와 같은 것은 없습니다. 모멘트가 모두 존재하지만이 답변의 시작 부분에서 볼 수 있듯이 분산 합계 (또는 적분)의 의미에서 무한대가 될 수 있습니다.

일반적으로 모든 모멘트는 양의 랜덤 변수에 대해 정의됩니다.이를 표현하는 합계 또는 적분은 절대적으로 수렴하거나 분기됩니다 ( "무한"입니다). 반면 에 양수 및 음수 값을 취하는 변수에 대해서는 모멘트가 정의되지 않을 수 있습니다. 레베 그 적분의 정의에 따라 모멘트는 포지티브 부분의 모멘트와 네거티브 부분의 절대 값 모멘트의 차이이기 때문입니다. 둘 다 무한하면 수렴은 절대적이지 않으며 무한대에서 무한대를 빼는 문제에 직면합니다.

다음은 유명한 예입니다. 가 각 정수 에 대해 확률로 값을 합니다. 그런 다음 는 양의 정수로 된 값을 취합니다. 총 질량은 이지만 기대치는 이 임의의 변수 는 상트 페테르부르크 역설 에서 발생합니다 .2 k 2 - k k ≥ 1 X ∑ ∞ k = 1 2 − k = 1 E ( X ) = ∞ ∑ k = 1 2 k P ( X = 2 k ) = ∞ ∑ k = 1 1 = ∞ . $X$$2^k$$2^{-k}$$k\ge1$$X$$\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}=1$

$$E(X) = \sum_{k=1}^\infty 2^k P(X=2^k) = \sum_{k=1}^\infty 1 = \infty.$$ $X$

1. 제타 분포 (평균에 대한 한정이없는 양의 정수에 상당히 잘 알려진 이산 분포 ).$1<\theta\leq 2$

   $P(X=x|\theta)={{\frac {1}{\zeta (\theta)}}x^{-\theta}}\,,\: x=1,2,...,\:\theta>1$

   정규화 상수가 이면 Riemann zeta 함수$\zeta(\cdot)$

   (편집 : 는 whuber의 답변과 매우 유사합니다)$\theta=2$

   꼬리 행동이 유사한 또 다른 분포는 Yule-Simon 분포입니다.

2. 또 다른 예는 베타 음성 이항 분포입니다 .$0<\alpha\leq 1$

   $P(X=x|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+x)}{x!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm{B} (\alpha +r,\beta +x)}{\mathrm{B} (\alpha ,\beta )}}\,,\:x=0,1,2...\:\alpha,\beta,r > 0$

Cauchy 배포판의 분리 된 버전

당신이 먹는 경우 예, 주위의 간격의 코시 분포의 평균 가치로서 하고 명확하게 제로 번째 순간은 코시 분포와 동일, 그 첫 순간은 점근의 첫 순간에 접근 코시 분포. " 의 간격"까지는 실제로 어떻게 정의하는지는 중요하지 않습니다. , , , vel cetera를 취 하면 작동합니다. 양의 정수의 경우 있습니다. 0 번째 모멘트는 1로 합산되고 첫 번째 모멘트는 의 합으로 분기됩니다.$p(n)$n ( n - 1 , n ] [ n , n + 1 ) [ n - .5 , n + .5 ) p ( n ) = $n$$n$$(n-1,n]$$[n,n+1)$$[n-.5,n+.5)$$p(n) =\frac6{(n\pi)^2}$$\frac6{n\pi^2}$

어떤 다항식 실제로 , 일부가 되도록 우리는 다음 맡으면 1. 합계 번째 모멘트, 순서 인 , 그 분기됩니다.(C) $p(n)$$c$ (K)(K)P(N$\frac c {p(n)}$$k$$k$$p(n)$