공정성을 자신있게 평가하기 위해 주사위를 몇 번 굴려야합니까?

(통계 언어가 아닌 일반 언어 사용에 대한 사전 사과.)

확실한 물리적 확신을 가지고 특정 물리적 6면 다이의 각면을 약 +/- 2 % 이내로 롤링 할 확률을 측정하려면 얼마나 많은 샘플 다이 롤이 필요합니까?

즉, 각 결과를 세어 주사위를 굴려 몇 번이나 굴려야할까요? 각면이 굴릴 확률이 14.6 %-18.7 % 이내인지 98 % 확신 할 수 있습니까? (또는 다이가 2 % 이내로 공평하다고 확신 할 수있는 유사한 기준도 있습니다.)

(이것은 시뮬레이션 게임은 주사위를 사용하고 있는지 확인 특정 주사위 디자인은 각 번호 롤링의 1/6 기회에 가까이 수용 가능하다되고 싶었다 대한 실제 문제입니다.이 있습니다 주장 많은 일반적인 주사위 디자인에 의해 29 % 1 개의 롤링 측정되었는지는 그러한 주사위 몇 개를 각각 1000 번씩 굴립니다.)

TL; DR은 다음의 경우 $p$ = 1/6 당신이 큰 방법을 알고 싶어요 $n$ 요구 사항이 있는지 주사위 98 %로 (2 % 이내까지) 공정이며, $n$ 필요 이상이어야합니다 $n$ ≥ 766 .

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하자 $n$ 롤의 숫자 및 $X$ 롤의 수를 일부 특정 측면에 토지. 그런 다음 $X$ 는 이항 분포 (n, p) 분포를 따릅니다. 여기서 $p$ 는 지정된면을 얻을 확률입니다.

중심 한계 정리에 따르면

$$\sqrt{n} (X/n - p) \to N(0,p(1-p))$$

이후 $X/n$ 의 표본 평균 인 $n$ 베르누이 $(p)$ 랜덤 변수. 따라서 큰 $n$ 에 대해 $p$ 대한 신뢰 구간 은 다음과 같이 구성 할 수 있습니다.

$$\frac{X}{n} \pm Z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

이후 $p$ 알 수없는, 우리는 샘플 평균을 대체 할 수있는 P = X / N , 다양한 컨버전스 정리에 의해, 우리는 그 결과 신뢰 구간은 점근 적으로 유효합니다 알고있다. 따라서 우리는 양식의 신뢰 구간을 얻습니다.$\hat{p} = X/n$

$$\hat{p} \pm Z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

와 P = X / N . Z- 점수가 무엇인지 알고 있다고 가정 하겠습니다. 예를 들어 95 % 신뢰 구간을 원하면 Z = 1.96이 됩니다. 주어진 신뢰 수준 α에 대해$\hat{p} = X/n$$Z$$Z=1.96$$\alpha$

$$\hat{p} \pm Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

이제이 신뢰 구간이 $C_\alpha$ 보다 작은 길이를 원하고이 경우에 얼마나 큰 표본이 ​​필요한지 알고 싶다고합시다. 이것은 $n_\alpha$ 가 무엇을 만족시키는 지 묻는 것과 같습니다.

$$Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_\alpha}} \leq \frac{C_\alpha}{2}$$

그런 다음 해결하기 위해 해결

$$n_\alpha \geq \left(\frac{2 Z_\alpha}{C_\alpha}\right)^2 \hat{p}(1-\hat{p})$$

에 대한 값 플러그 그래서 $Z_\alpha$ , $C_\alpha$ 및 예측 (P)을 위한 추정 얻었다 N 개의 α를 . p 를 알 수 없기 때문에 이것은 추정치 일 뿐이지 만 ( n 이 클수록 무증상 ) 정확해야합니다.$\hat{p}$$n_\alpha$$p$$n$