몬티 홀 문제 – 직관은 어디에서 실패합니까?

Wikipedia에서 :

당신이 게임 쇼에 있고 세 개의 문 중 하나를 선택했다고 가정 해 봅시다. 다른 사람들 뒤에 염소. 1 번 문을 선택하면 문 뒤에 무엇이 있는지 아는 호스트가 염소가있는 3 번 문을 엽니 다. 그리고 나서 "문 2 번을 고르시겠습니까?" 선택을 전환하는 것이 유리합니까?

대답은 물론 그렇습니다. 그러나 그것은 비이성적입니다. 대부분의 사람들이 우리의 머리를 긁거나 더 잘 붙일 수있는 확률에 대한 오해 미래에 직관을 더 잘 훈련시키기 위해이 퍼즐에서 어떤 일반적인 규칙을 제거 할 수 있습니까?

문제의 두 가지 간단한 변형을 고려하십시오.

1. 참가자의 문이 열리지 않습니다. 주인은 문을 고르는 데 도움을주지 않습니다. 이 경우 올바른 문을 선택할 확률은 1/3입니다.
2. 참가자에게 추측을 요청하기 전에 주최자는 문을 열고 염소를 공개합니다. 주최자가 염소를 밝힌 후 참가자는 남은 두 문에서 차를 골라야합니다. 이 경우 올바른 문을 선택할 확률은 1/2입니다.

참가자는 자신의 문 선택의 정확성을 알기 위해 몇 가지 긍정적 인 결과를 얻을 수 있는지 알고 그 수를 가능한 결과로 나눕니다. 위에서 설명한 두 가지 간단한 사례로 인해 선택 가능한 문 수로 사용할 수있는 모든 가능한 결과와 자동차를 숨기는 문 수로 긍정적 인 결과의 양을 생각하는 것은 매우 당연합니다. 이러한 직관적 인 가정을 감안할 때 , 참가자가 추측 한 후 호스트가 염소를 드러내 기 위해 문을 열더라도 차를 포함하는 문 중 하나의 확률은 1/2입니다.

실제로 확률은 세 문보다 더 큰 가능한 결과 집합을 인식하고 자동차가있는 단일 문보다 큰 긍정적 인 결과 집합을 인식합니다. 문제의 정확한 분석에서, 호스트는 참가자에게 새로운 정보를 제공하여 해결해야 할 새로운 질문을 제공합니다. 호스트가 제공 한 새로운 정보가 정확한 정보를 알려주기에 충분할 정도로 나의 원래 추측이있을 확률은 얼마입니까? 문? 이 질문에 답할 때 긍정적 인 결과와 가능한 결과는 유형의 문과 자동차가 아니라 염소와 자동차의 추상적 배열입니다. 세 가지 가능한 결과는 두 마리의 염소와 세 개의 문 뒤에있는 하나의 자동차의 세 가지 가능한 배열입니다. 두 가지 긍정적 결과는 참가자의 첫 추측이 틀린 두 가지 가능한 배열입니다. 이 두 가지 배열 각각에서, 주최자가 제공 한 정보 (두 개의 나머지 문 중 하나가 비어 있음)는 참가자가 차를 숨기는 문을 결정하기에 충분합니다.

요약하면 :

우리는 선택의 물리적 표현 (문과 자동차)과 가능한 문제의 수와 가능성에 대한 원하는 결과 사이의 간단한 매핑을 찾는 경향이 있습니다. 참가자에게 새로운 정보가 제공되지 않는 경우에는 잘 작동합니다. 그러나 참가자에게 더 많은 정보가 제공되는 경우 (즉, 선택하지 않은 문 중 하나가 확실히 차가 아닌 경우)이 매핑이 고장 나고 올바른 질문이 더 추상적임을 알 수 있습니다.

나는 당신이 100 문으로, 첫 번째, 두 번째, 98 개의 문으로 바꾸면 솔루션 이보다 직관적이라고 생각합니다. 마찬가지로 50 개의 문 등

원래 질문에 대답하기 : 이야기로 인해 직감이 실패합니다. TV 스크립트와 같은 순서로 스토리를 관련 시키면 혼란스러워집니다. 미리 일어날 일을 생각하면 훨씬 쉬워집니다. 퀴즈 마스터가 염소를 공개하므로 염소가있는 문을 선택한 다음 전환하는 것이 가장 좋습니다. 스토리 는 우리가 자동차를 선택할 수있는 세 번의 기회 중 하나에서 우리의 행동 으로 인한 손실 에 많은 중점을 둡니다 .

원래 답변 :

우리의 목표는 두 염소 를 제거하는 것입니다 . 우리는 염소 한 마리를 직접 표시하여이 작업을 수행합니다. 퀴즈 마스터는 차 또는 다른 염소를 공개하도록 선택해야합니다. 차를 공개하는 것은 의문의 여지가 없으므로 퀴즈 마스터는 우리가 몰랐던 염소를 밝혀 내고 제거합니다. 그런 다음 나머지 문으로 전환하여 첫 번째 선택으로 표시된 염소를 제거하고 차를 가져옵니다.

이 전략은 우리가 염소를 표시하지 않고 차 대신에 실패합니다. 그러나 그럴 것 같지 않다 : 염소 두 마리와 차 한 대 밖에 없다.

그래서 우리는 차에서 이길 확률이 3 분의 2입니다.

대답은 "물론 예"가 아닙니다. 정답은 "모르겠습니다. 좀 더 구체적으로 말씀해 주시겠습니까?"입니다.

당신이 옳다고 생각하는 유일한 이유는 Marliyn vos Savant가 그렇게 말했기 때문입니다. 질문에 대한 그녀의 원래 답변은 (질문이 그녀보다 먼저 널리 알려졌지만) 1990 년 9 월 9 일 퍼레이드 잡지에 실렸다 . 그녀는이 질문에 대한 "올바른"대답은 문을 바꾸는 것이라고 썼다. 그녀는 수학 박사와 다른 똑똑한 사람들로부터 그녀가 틀렸다고 말한 많은 반응을 얻었습니다 (많은 사람들도 틀렸음에도 불구하고).

게임 쇼에 있고 3 개의 문을 선택할 수 있다고 가정합니다. 한 문 뒤에는 차가 있고 다른 문 뒤에는 염소가 있습니다. 1 번 문을 선택하면 문 뒤에 무엇이 있는지 아는 호스트 가 염소가있는 3 번 문을 엽니 다 . "2 번 문을 선택 하시겠습니까?" 문 선택을 전환하는 것이 유리합니까? — Craig F. Whitaker Columbia, 메릴랜드

나는이 논리 문제의 중요한 부분을 굵게 표시했습니다. 그 진술에서 모호한 것은 다음과 같습니다.

Monty Hall은 항상 문을 열까요? (승리 한 문을 선택할 때 문을 잃어버린 경우에만 문을 열면 어떤 이점이 있습니까? 답변 : 아니오)

몬티 홀은 항상 지는 문을 열 나요? (질문은 자동차가 어디에 있는지, 특정 시간에 염소를 보여준 시간을 알고 있음을 나타냅니다. 무작위로 문을 열면 어떤 기회가 있을까요? 예 : Monty Fall 질문 또는 가끔 승리하는 문을 보여 주기로 선택하는 경우 .)

Monty Hall은 항상 선택 하지 않은 문을 열었 습니까?

이 논리 퍼즐의 기본 사항은 두 번 이상 반복되어 왔으며, 2/3의 "올바른"답변을 제공하기에 충분하지 않은 경우가 많습니다.

가게 주인은 그녀에게 당신을 보여줄 두 개의 새로운 아기 비글을 가지고 있다고 말하지만, 그녀는 그들이 남성인지 여성인지 또는 쌍인지 모릅니다. 당신은 그녀에게 당신이 남자를 원한다고 말하면, 그녀는 그들에게 목욕을주는 사람에게 전화를 겁니다. "적어도 남성입니까?" 그녀는 그에게 물었다. "예!" 그녀는 미소로 당신을 알려줍니다. 다른 사람이 남성 일 확률은 얼마입니까? — Stephen I. Geller, 캘리포니아 패서 디나

동료는 "예"라고 대답하기 전에 두 개 를 모두 보았습니까? 아니면 임의의 개를 골라서 수컷임을 발견 한 다음 "예"라고 대답했습니다.

여자와 남자 (비 관련자)는 각각 두 자녀가 있다고 가정하십시오. 우리는 여자 아이 중 적어도 하나는 소년이고 남자의 가장 나이 많은 아이는 소년이라는 것을 알고 있습니다. 왜 여자가 두 남자 아이를 가질 확률이 남자가 두 남자 아이를 가질 확률과 같지 않은지 설명 할 수 있습니까? 저의 대수 선생님은 그 남자가 두 명의 남자 아이를 가질 가능성이 더 크다고 주장하지만 그 기회는 같을 것이라고 생각합니다. 어떻게 생각해?

여자들에게 적어도 한 명의 소년이 있다는 것을 어떻게 알 수 있습니까? 우리는 언젠가 울타리를 보았고 그들 중 하나를 보았습니까? ( 답변 : 50 %, 남자와 동일 )

그 질문은 심지어 우리 자신의 Jeff Atwood를 넘어 뜨렸다 . 그는 이 질문을 제기했다 :

가설 적으로 말하자면, 두 자녀가 있다고 말한 사람을 만났고 그 중 하나가 소녀라고 가정 해 봅시다. 사람이 소년과 소녀를 가질 확률은 무엇입니까?

Jeff는 간단한 질문이며 간단한 언어로 질문하고 답변을 2/3로하려면 질문이 잘못 표시되었다고 말하는 일부 사람들 의 반대 의견 을 피합니다.

더 중요한 것은 여자가 정보를 자원 한 이유 입니다. 그녀가 평범한 사람들이 하는 방식으로 말하고 있다면 , 어떤 사람은 "그들 중 하나는 소녀이다"라고 말할 때 필연적으로 다른 하나는 소년입니다. 우리가 이것을 논리적 인 질문이라고 가정한다면, 우리를 넘어 뜨리려는 의도로, 그 질문이 더 명확하게 정의되도록 요청해야합니다. 여자가 자녀 중 한 명을 무작위로 선발 했습니까, 아니면 두 자녀에 대해 이야기하고 있습니까?

그 질문이 잘못 표현되어 있음은 분명하지만 사람들은 그것을 깨닫지 못합니다. 비슷한 질문이있을 때, 확률이 훨씬 더 많이 전환 될 경우 사람들은 그것이 트릭이어야한다는 것을 깨닫고 (호스트의 동기에 의문을 제기) 백문 질문에서와 같이 전환에 대한 "올바른"대답을 얻습니다. . 이것은 의사가 양성 검사 후 특정 질환을 앓고 있는 여성의 가능성에 대해 물었을 때 의사가 ( 질병 이 있는지 또는 거짓 양성인지를 결정해야 함) 사실에 더 잘 도달 한다는 사실에 의해 뒷받침됩니다 . 질문이 어떻게 표현되는지에 따라 정답. 반쯤 이이 사건을 다루는 멋진 TED 토크 가 있습니다.

그는 유방암 검사와 관련된 확률을 설명했습니다. 검사 된 여성의 1 %가 질병에 걸렸으며,이 검사는 90 % 정확하고 9 % 가양 성 비율입니다. 그러한 모든 정보를 가지고, 당신은 그들이 질병에 걸릴 가능성에 대해 긍정적 인 검사를 한 여성에게 무엇을 말합니까?

도움이된다면 다른 방법으로 표현한 동일한 질문이 있습니다.

정기 검진에 참여하는 40 세의 여성 10,000 명 중 100 명이 유방암에 걸렸습니다. 유방암 여성 100 명 중 90 명은 유방 촬영술을받습니다. 유방암이없는 9,900 명의 여성 중 891 명도 양성 유방 조영술을받습니다. 이 연령 그룹의 여성 10,000 명이 정기 검진을받는 경우 유방 조영술이 양성인 여성 중 실제로 유방암에 걸린 비율은 약 몇 퍼센트입니까?

Graham Cookson의 말을 약간 수정했습니다. 사람들이 간과하는 가장 중요한 것은 첫 번째 선택이 아니라 호스트의 선택과 호스트가 자동차를 공개 하지 않았다는 가정입니다 .

실제로, 수업에서이 문제를 논의 할 때, 여러분의 가정을 명확하게하는 사례 연구로 문제를 제시합니다. 호스트가 염소 만 공개하도록하는 경우 전환 하는 것이 유리합니다 . 반면에, 호스트가 2 번과 3 번 문 사이에서 무작위로 골라 염소를 드러내면 전환에 유리하지 않습니다.

(물론, 실제 전략은 호스트의 전략을 모른다면 어쨌든 전환해야한다는 것입니다.)

이것은 일반적인 규칙을 제시하지는 않지만 어려운 퍼즐이되는 한 가지 이유는 직관이 조건부 확률을 잘 처리하지 못하기 때문이라고 생각합니다. 같은 현상에서 다른 확률 퍼즐 이 많이 있습니다 . 내 블로그에 링크하고 있으므로 Monty Hall에 대한 게시물이 있습니다.

학생들은이 문제가 매우 어렵다는 것에 동의합니다. 내가받는 전형적인 반응은 당신이 염소를 본 후에 차를 얻을 수있는 50:50의 기회가 있다는 것입니다. 왜 중요한가요? 학생들은 현재 선택해야 할 결정에서 첫 번째 선택을 이혼하는 것 같습니다. 즉,이 두 동작을 독립적으로 간주합니다. 그런 다음 처음에는 잘못된 문을 선택했을 가능성이 두 배나 높았으므로 전환이 더 나은 이유를 상기시킵니다.

최근 몇 년 동안 나는 유리로 게임을 시작했으며 학생들이 문제를 훨씬 잘 이해하도록 도와줍니다. 나는 세 개의 골판지 화장실 롤 "중간"을 사용하고 그 중 두 개는 종이 클립이며 세 번째는 £ 5 지폐입니다.

나는 Monty Hall 솔루션을 놀라게 만드는 확률의 어려움보다 논리의 문제라고 생각합니다. 다음 문제점 설명을 고려하십시오.

TV 쇼에 가기 전에 집에서 결정을 내리거나 문을 바꾸거나 첫 번째 선택을 할 것인지 여부는 쇼 중에 일어나는 일입니다. 즉, 게임을하기 전에 "Stay"또는 "Switch"전략 중에서 선택하십시오. 이 전략 선택과 관련된 불확실성은 없습니다. 아직 확률을 도입 할 필요가 없습니다.

두 전략의 차이점을 이해합시다. 다시, 우리는 확률에 대해 이야기하지 않을 것입니다.

"Stay"전략 하에서 첫 번째 선택이 "좋은"문인 경우에만 승리합니다. 반면 "Switch"전략 하에서 첫 번째 선택이 "나쁜"문인 경우에만 승리합니다. 이 두 경우에 대해 1 분, 특히 두 번째 경우에 대해 신중하게 생각하십시오. 다시 한 번, 우리는 아직 확률에 대해 이야기하지 않았습니다. 논리의 문제 일뿐입니다.

이제 확률에 대해 이야기합시다. 처음에 각 문 뒤에있는 상금에 확률 을 할당했다고 가정하면 전략 "숙박"에서 이길 확률은 ( "좋은"문을 선택할 확률입니다). 그러나 "Switch"전략 하에서 이길 확률은 ( "나쁜"문을 선택할 확률입니다). 이것이 바로 전략 "스위치"가 더 나은 이유입니다.$1/3$$1/3$$2/3$

PS 1990 년, Larry Denenberg 교수는 TV 쇼 호스트 Monty Hall에게 잘 알려진 3 문 문제에 대한 설명에서 그의 이름을 책에 사용하도록 허가하는 편지를 보냈습니다.

다음은 그 편지에 대한 Monty의 답변의 일부 이미지입니다.

"보시다시피, 플레이어가 문 A를 선택하고 문 C를 표시 한 후에도 아무런 차이가 없습니다. 왜 문 B로 전환하려고합니까?"

따라서 Monty Hall (남자 자신)이 Monty Hall 문제를 이해하지 못했다고 결론 내릴 수 있습니다!

답을 바꾸는 것이 최선임을 알아 내기 위해 조건부 확률이나 베이 즈 정리에 대해 알 필요가 없습니다.

처음에 문 1을 선택한다고 가정하면 문 1이 승자가 될 확률은 1/3이고 문 2 또는 3이 승자가 될 확률은 2/3입니다. 만약 2 번 문이 주최자가 선택한 패자가된다면 2 번 또는 3 번이 승자라는 확률은 여전히 ​​2/3입니다. 그러나 2 번 문이 패배자이므로 3 번 문이 승자가 될 확률은 2/3입니다.

교훈? 질문을 재구성하고 상황을 보지 말고 전략을 찾으십시오. 물건을 머리 위로 돌리고 뒤로 일하십시오 ...

사람들은 일반적으로 우연히 일하는 데 좋지 않습니다. 일단 A 또는 B가 평균적 으로 더 높은 지불금 을 준다는 것을 발견하면 동물은 일반적으로 더 잘 지냅니다 . 그들은 더 나은 평균으로 선택에 충실합니다. (참조가 준비되지 않았습니다. 죄송합니다.)

사람들이 80/20 분포를 볼 때 가장 먼저해야 할 일은 지불금과 일치하도록 선택을 퍼뜨리는 것입니다. 더 나은 선택에 80 %, 다른 것에 20 %. 이로 인해 지불금은 68 %가됩니다.

다시 말하지만 사람들이 그러한 전략을 선택할 수있는 유효한 시나리오가 있습니다. 시간이 지남에 따라 확률이 바뀌면 프로브를 발송하고 더 낮은 성공 가능성으로 선택을 시도해야 할 이유가 있습니다.

수학 통계의 중요한 부분은 실제로 여부를 결정하는 프로세스의 동작을 연구 하다 임의 여부.

몇 가지 일이 진행되고 있다고 생각합니다.

우선, 설정에는 솔루션이 고려하는 것보다 더 많은 정보가 포함됩니다. 그것은 게임 쇼이며, 호스트는 우리가 전환하고 싶은지 묻습니다.

만약 주최자가 쇼가 여분의 돈을 쓰지 않기를 원한다면 (적당한), 당신이 올바른 문을 가지고 있다면 그가 당신을 바꾸라고 설득하려고 할 것입니다.

이것은 사람들을 혼란스럽게 할 수있는 문제를 보는 상식적인 방법이지만, 주요 문제는 새로운 선택이 첫 번째 선택과 어떻게 다른지 이해하지 못한다고 생각합니다 (100 문 경우 더 분명합니다).

이 위대한 기사 를 lesswrong에 인용 하겠습니다.

가능한 가설은 Car in Door 1, Car in Door 2 및 Car in Door 3입니다. 게임이 시작되기 전에 세 문 중 하나가 다른 문보다 차를 포함 할 가능성이 높다고 믿을 이유가 없으므로 이러한 각 가설의 사전 확률은 1/3입니다.

게임은 우리가 선택한 문으로 시작합니다. 그 자체는 물론 자동차의 위치에 대한 증거는 아닙니다. 우리는 도어 중 하나 뒤에 있다는 것 외에는 게임에 대한 특정 정보가 없다고 가정합니다 (게임의 요점입니다!). 그러나 일단 그렇게하면 "실험 데이터"를 얻기 위해 "테스트를 실행"할 수있는 기회가 주어집니다. 호스트는 염소가 들어있는 문을 여는 임무를 수행합니다. 결과 Host Opens Door 1을 삼각형으로, 결과 Host Hosts Door 2를 사각형으로, 결과 Host Hosts Door 3을 오각형으로 표시하여 가설 공간을 "Car" 문 1 및 호스트에서 문 2 ","문 1 및 호스트에서 자동차 문 3 "등 :

우리가 처음으로 문을 선택하기 전에, 주인은 염소가 들어있는 문을 열 것입니다. 따라서 게임이 시작될 때 "Car in Door X 및 Host Opens Door Y"형식의 각 가설 확률은 그림과 같이 1/6입니다. 여태까지는 그런대로 잘됐다; 모든 것이 여전히 완벽합니다.

이제 우리는 문을 선택합니다. 문 2를 선택한다고 가정하면 호스트는 문 1 또는 문 3을 열어 염소를 공개합니다. 그가 1 번 문을 열었다 고 가정하자. 다이어그램은 다음과 같습니다 :

그러나 이것은 문 2와 문 3 뒤에있는 자동차의 동등한 확률을 보여줍니다!

실수를 했습니까?

거기에 당신의 직감이 당신을 실패시키는 방법이 있습니다.

전체 기사 에서 올바른 해결책을 확인 하십시오 . 다음을 포함합니다 :

• 베이 즈 정리의 설명
• 몬티 홀의 잘못된 접근
• 몬티 홀의 올바른 접근
• 더 많은 문제 ...

내 경험상 사람들이 단어에서 수학으로 자동으로 도약하지 않는 것이 사실입니다. 일반적으로 내가 처음 발표 할 때 사람들은 잘못 생각합니다. 그러나 나는 52 장의 카드를 가져 와서 하나를 선택하게합니다. 그런 다음 50 장의 카드를 공개하고 카드 교환을 원하는지 묻습니다. 그런 다음 대부분의 사람들이 그것을 얻습니다. 그들은 그들 중 52 명이있을 때 카드가 잘못되었을 가능성을 직관적으로 알고 있으며 50 개가 뒤집힌 것을 볼 때 결정은 매우 간단합니다. 수학 문제에서 마음을 끄는 경향만큼 역설이라고 생각하지 않습니다.