가우스 copula에서 시뮬레이션하는 방법?

시뮬레이션 할 수 있는 두 개의 일 변량 한계 분포 (예 : 및 가 있다고 가정합니다 . 이제 로 표시 되는 가우스 copula를 사용하여 관절 분포를 구성하십시오 $F$ $G$ . 모든 매개 변수가 알려져 있습니다. $C(F,G;\Sigma)$

이 copula에서 시뮬레이션하기위한 비 MCMC 방법이 있습니까?

normal-distribution simulation copula

— 틸로
소스

물론

대해

이라고 가정하면 :

과

취하십시오 . 다 했어요

Σ_{i i} = 1

$\Sigma_{ii} = 1$

i = 1, 2

$i=1,2$

(X, Y) \sim N (0, Σ)

$(X,Y) \sim \mathcal N(0,\Sigma)$

F^{- 1} (Φ (X))

$F^{-1}(\Phi(X))$

G^{- 1} (Φ (Y))

$G^{-1}(\Phi(Y))$

— 추기경

R에는 또한 "copula"라는 패키지가 있으며 대부분의 표준 copulas를 시뮬레이션 할 수 있습니다.

— semibruin

다변량 정규 분포와 가우스 copula의 정의를 기반으로하는 Gaussian copula에서 시뮬레이션하는 매우 간단한 방법이 있습니다.

다변량 정규 분포에 필요한 정의와 특성을 제공하고 가우스 copula를 시작한 다음 Gauss copula에서 시뮬레이션 할 알고리즘을 제공합니다.

다변량 정규 분포
랜덤 벡터 갖는 다변량 정규 분포 경우 A는 독립적 표준 정규 확률 변수의 차원 벡터, 인 상수의 차원 벡터이며, 는 상수의 행렬입니다. 표기법 $X = (X_1, \ldots, X_d)'$

X \overset{d}{=} μ + A Z,

$X \stackrel{\mathrm{d}}{=} \mu + AZ,$

Z

$Z$

k

$k$

μ

$\mu$

d

$d$

A

$A$

d \times k

$d\times k$

\overset{d}{=}

$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$ 분포의 동등성을 나타냅니다.

각 성분은

X

$X$ 필수적이며 독립 표준 정규 확률 변수의 가중치 합.
평균 벡터와 공분산 행렬의 속성에서 우리는

E (X) = μ

${\rm E}(X) = \mu$ 및

가지며 ,

이므로 자연 표기법

c o v (X) = Σ

${\rm cov}(X) = \Sigma$

Σ = A A^{'}

$\Sigma = AA'$

X \sim N_{d} (μ, Σ)

$X \sim {\rm N}_d(\mu, \Sigma)$ .

가우스 접합부 가우스 접합부가 있는 다 변수 정규 분포로부터 묵시적으로 정의는 가우스 접합부는 다변량 정규 분포와 연관된 접합부이다. 구체적으로 Sklar의 정리 에서 가우스 copula는 여기서

C_{P} (u_{1}, \dots, u_{d}) = Φ_{P} (Φ^{- 1} (u_{1}), \dots, Φ^{- 1} (u_{d})),

$C_P(u_1, \ldots, u_d) = \boldsymbol{\Phi}_P(\Phi^{-1}(u_1), \ldots, \Phi^{-1}(u_d)),$

Φ

$\Phi$

Φ_{P}

$\boldsymbol{\Phi}_P$ 이 각 마진에 적용되는 입니다.

$P$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$

따라서 를 시뮬레이션하는 알고리즘 $n$ $P$

의 hole 레 스키 분해 수행 $P$ , 설정 $A$ 결과적으로 낮은 삼각 행렬로 나타납니다.
다음 단계를 반복하십시오 타임스.
1. 벡터 생성 $Z = (Z_1, \ldots, Z_d)'$ 독립 표준 정규 변량.
2. 세트 $X = AZ$
3. 반환 $U = (\Phi(X_1), \ldots, \Phi(X_d))'$ .

R을 사용한이 알고리즘의 예제 구현에서 다음 코드는 다음과 같습니다.

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
P <- matrix(c(1, 0.1, 0.8,               # Correlation matrix
              0.1, 1, 0.4,
              0.8, 0.4, 1), nrow = 3)
d <- nrow(P)                             # Dimension
n <- 200                                 # Number of samples

## Simulation (non-vectorized version)
A <- t(chol(P))
U <- matrix(nrow = n, ncol = d)
for (i in 1:n){
    Z      <- rnorm(d)
    X      <- A%*%Z
    U[i, ] <- pnorm(X)
}

## Simulation (compact vectorized version) 
U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))

## Visualization
pairs(U, pch = 16,
      labels = sapply(1:d, function(i){as.expression(substitute(U[k], list(k = i)))}))

다음 차트는 위의 R 코드에서 생성 된 데이터를 보여줍니다.

enter image description here

— QuantIbex
소스

그 후에 F와 G가 나타나는 곳은 어디입니까?

— lcrmorin

@Were_cat, 무슨 뜻인가요?

— QuantIbex

원래 질문에는 두 개의 일 변량 분포 인 F와 G에 대한 언급이 있습니다. 어떻게 F와 G 마진을 가지고 copulas에서 rv로 가나 요?

— lcrmorin

@ Were_cat, 좋아 당신은 변환하고 싶다

U_{1}

$U_1$ 과

U_{2}

$U_2$ 균일 한 분포를 가진

(0, 1)

$(0, 1)$ 말하자면

Y_{1}

$Y_1$ 과

Y_{2}

$Y_2$ 각각의 분포를 따르는

F

$F$ 과

G

$G$ . 그렇게하려면 간단히 설정하십시오

Y_{1} = F^{- 1} (U_{1})

$Y_1 = F^{-1}(U_1)$ 과

Y_{2} = G^{- 1} (U_{2})

$Y_2 = G^{-1}(U_2)$ , 어디

F^{- 1}

$F^{-1}$ 과

G^{- 1}

$G^{-1}$ 의 역함수를 나타내 다

F

$F$ 과

G

$G$ .

— QuantIbex

@Were_cat, to quote the wikipedia copula page: "a copula is a multivariate probability distribution for which the marginal probability distribution of each variable is uniform. Copulas are used to describe the dependence between random variables."

— QuantIbex