통계적 무작위성에 대한 몇 가지 질문

에서 위키 백과의 통계 randoness :

글로벌 임의성과 로컬 임의성이 다릅니다. 무작위성에 대한 대부분의 철학적 개념은 전역 적이다. 왜냐하면 어떤 하위 시퀀스가 ​​무작위 적으로 보이지 않더라도 "장기적으로"시퀀스는 실제로 무작위로 보인다는 생각에 근거하기 때문이다. 예를 들어, 길이가 충분한 "정확한"난수 시퀀스에서는 0이 아닌 긴 시퀀스가있을 가능성이 있지만 전체적으로 시퀀스는 무작위 일 수 있습니다. 국소 랜덤 성은 랜덤 분포가 근사되는 최소 시퀀스 길이가있을 수 있다는 생각을 말합니다."정확한"랜덤 프로세스에 의해 생성 된 숫자를 포함하여 동일한 자릿수의 긴 스트레치는 샘플의 "로컬 랜덤 성"을 감소시킬 것입니다 (1 만 자릿수의 시퀀스에 대해서는 로컬로만 무작위 일 수 있습니다. 예를 들어).

따라서 패턴을 나타내는 서열은 통계적으로 랜덤하지 않은 것으로 입증되지 않았다. 램지 이론의 원리에 따르면, 충분히 큰 물체는 반드시 주어진 하부 구조를 포함해야합니다 ( "완전 장애는 불가능합니다").

나는 두 문장의 의미를 굵게 이해하지 못합니다.

1. 첫 번째 문장은 무언가가 짧은 길이의 로컬 무작위가 아닌 더 긴 길이의 로컬 무작위를 만드는 것을 의미합니까?

   괄호 안의 예제는 어떻게 작동합니까?

2. 두 번째 문장은 패턴을 나타내는 서열이 통계적으로 랜덤하지 않다는 것을 증명할 수 있습니까? 왜?

감사

이 개념은 일부 실행 코드로 깔끔하게 설명 할 수 있습니다. 우리 R는 좋은 의사 난수 생성기를 사용하여 10,000 개의 0과 1의 시퀀스를 생성하여 시작합니다.

set.seed(17)
x <- floor(runif(10000, min=0, max=2))

이것은 기본적인 난수 테스트를 통과합니다. 예를 들어, t-test를가 평균을 비교하기 의 p- 값이 40.09 우리는 0과 똑같이 가능성이 있다는 가설을 받아 들일 수 %를,.$1/2$$40.09$

이 숫자에서 우리 는 5081 번째 값에서 시작하여 연속적인 값 의 하위 시퀀스를 추출 합니다.$1000$

x0 <- x[1:1000 + 5080]

이것들이 무작위로 보인다면, 그들은 또한 동일한 난수 테스트를 통과해야합니다. 예를 들어 평균이 1/2인지 테스트 해 보겠습니다.

> t.test(x0-1/2)

    One Sample t-test

data:  x0 - 1/2 
t = 2.6005, df = 999, p-value = 0.009445
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 0.01006167 0.07193833 
sample estimates:
mean of x 
    0.041 

낮은 p- 값 (1 % 미만)을 강하게 평균 현저하다 제안 보다 보다 . 실제로이 하위 시퀀스의 누적 합계는 상승 추세가 강합니다.$1/2$

> plot(cumsum(x0-1/2))

그것은 무작위 행동이 아닙니다!

원래 시퀀스 (누적 합계로 표시)를이 하위 시퀀스와 비교하면 현재 진행중인 작업을 알 수 있습니다.

긴 시퀀스는 실제로 임의의 보행처럼 동작하지만 추출한 특정 하위 시퀀스 에는 동일한 길이의 모든 하위 시퀀스 중에서 가장 긴 상향 상승이 포함됩니다. "비 랜덤"동작을 나타내는 다른 하위 시퀀스도 추출 할 수있을 것 같습니다. 예를 들어 약 개를 중심으로 한 행에 약 20 개의 행이 나타납니다.$9000$

이러한 간단한 분석에서 알 수 있듯이, 어떤 테스트도 시퀀스가 ​​무작위로 나타나는 것을 "증명"할 수 없습니다 . 우리가 할 수있는 것은 무작위 서열이 예상 한 행동에서 충분히 벗어나서 무작위가 아니라는 증거를 제공하는지 테스트하는 것 입니다. 이것은 난수 테스트 배터리의 작동 방식입니다. 난수 시퀀스에서 발생할 가능성이 거의없는 패턴을 찾습니다. 그들은 한 번에 한 번씩 무작위로 숫자가 무작위로 표시되지 않는다는 결론을 내릴 수 있습니다. 다른 시도는 거부 할 것입니다.

그러나 장기적으로, 우리 모두가 죽은 것처럼, 임의의 난수 생성기는 가능한 모든 1000 자리 시퀀스를 생성 하며 무한히 여러 번 수행됩니다. 논리적 인 문제에서 우리를 구출하는 것은 그러한 명백한 수차가 발생하기 위해 끔찍한 시간을 기다려야한다는 것입니다.

이 발췌문은 "로컬 랜덤 성"및 "글로벌 랜덤 성"이라는 용어를 사용하여 랜덤 변수의 한정된 수의 샘플로 발생할 수있는 것과 랜덤 변수의 확률 분포 또는 기대를 구별합니다.

$x_i$$\{0,1\}$$\theta$$\theta$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \theta$

$[0,1]$$[a,b]$$0 \leq a < b \leq 1$$\theta$

여기에 새로운 것은 없습니다.

$n$

따라서, 나는이 발췌에 대해 생각하는 뇌 세포를 너무 많이 태우지 않을 것입니다. 수학적으로 그렇게 정확하지 않으며 무작위의 본질에 대해 실제로 오도합니다.

의견을 기반으로 편집 : 역사적 지식에 대한 귀하의 의견에 @kjetilbhalvorsen +1. 그러나 나는 여전히이 용어의 가치가 제한적이고 오해의 소지가 있다고 생각합니다. 설명하는 표는 예를 들어 표본이있는 작은 표본이 실제 예상 값과 거리가 멀거나 아마도 0 번 (0 번의 Bernoulli 예제에서) 반복 가능한 긴 반복 시퀀스를 의미하는 오해의 소지가있는 것으로 보입니다. 덜 무작위성 (이 가짜 "로컬 무작위성"을 나타내지 않는다고 말함으로써). 신진 통계 학자에게 더 오해의 소지가 없다고 생각합니다!

Wikipedia 게시물의 저자는 무작위성을 잘못 해석하고 있다고 생각합니다. 그렇습니다. 무작위가 아닌 것처럼 보일 수도 있지만 시퀀스를 생성 한 프로세스가 실제로 무작위라면 출력이어야합니다. 특정 서열이 무작위가 아닌 것으로 보이는 경우, 이는 독자에 대한 잘못된 인식입니다 (즉, 인간은 패턴을 찾도록 설계됩니다). 밤하늘에 북두칠성과 오리온 등을 볼 수있는 능력은 별의 패턴이 무작위가 아니라는 증거는 아닙니다. 나는 무작위성이 무작위가 아닌 것처럼 보인다는 데 동의합니다. 프로세스가 짧은 시퀀스에 대해 실제로 비 랜덤 패턴을 생성하는 경우 무작위 프로세스가 아닙니다.

프로세스가 다른 샘플 크기로 변경되는 것은 아닙니다. 표본 크기를 늘리면 랜덤하지 않은 것으로 보이는 임의의 서열이 나타날 확률이 높아집니다. 20 개의 임의 관측치에서 10 % 확률로 패턴을 볼 수있는 경우 총 관측치 수를 10000으로 늘리면 어딘가에서 비 랜덤 성이 나타날 가능성이 높아집니다.