특정 집단에서 측정 할 때 특정 종류의 변수에 대한 데이터는 비정규 경향이 있습니다 (예 : 주요 우울 장애가있는 인구 집단의 우울증 수준). Pearson의 가정이 정규성을 가정하면 비정규 조건에서 검정 통계량은 얼마나 강력합니까?

상관 계수를 원하는 여러 변수가 있지만 이러한 변수 중 일부에 대한 Z-skewness는 p <.001 에서 중요 합니다 (상대적으로 작은 샘플의 경우). 나는 몇 가지 변형을 시도했지만 배포판의 개선은 거의 미미합니다.

비모수 적 분석을 고수해야합니까? 그리고 상관 관계뿐만 아니라 다른 유형의 분석에도 적용됩니까?

짧은 대답 : 매우 견고합니다. 상관 관계는 선형 의존도 , 한 변수 를 다른 변수 의 선형 함수로 쓸 수없고 (여전히 주어진 한계 분포를 가짐) 완벽한 (양수 또는 음수) 상관 관계를 가질 수 없습니다. 실제로 가능한 상관 관계 값이 심각하게 제한 될 수 있습니다.

문제는 그 인구의 상관 관계가있는 동안 항상 사이 $-1$ 및 $1$ , 정확한 범위를 달성 심하게 한계 분포에 따라 달라집니다. 빠른 증거 및 데모 :

달성 가능한 상관 범위

경우 분포 함수를 갖는 H 및 여백 분포 함수 F 및 G를 위한 다소 좋은 상부와 하부 경계가 존재 H , H - ( X , Y를 ) ≤ H ( X , Y ) ≤ H + ( X , y ) , Fréchet bounds라고합니다. 이들은 H - ( X , $(X,Y)$$H$$F$$G$$H$

$$H_-(x,y) \leq H(x,y) \leq H_+(x,y),$$ (증명을 시도하십시오; 그리 어렵지 않습니다.) $$\begin{aligned} H_-(x,y) &= \max(F(x) + G(y)-1, 0)\\ H_+(x,y) &= \min(F(x), G(y)). \end{aligned}$$

경계 자체는 분포 함수입니다. $U$ 가 균일 한 분포를 갖도록 합시다 . 상부 바인딩은의 분포 함수 $(X,Y)=(F^-(U), G^-(U))$ 의 분포 함수 및 하한된다 $(F^-(-U), G^-(1-U))$ .

우리 때의 최대 및 최소의 상관 관계를 구하는 것을 알 H가 같은지 H + 및 H - 각각, 즉 때 Y는 의 (긍정적으로 또는 부정적으로 각각) 단조 함수이고 X가 .

$$\mathop{\textrm{Cov}}(X,Y)=\iint H(x,y)-F(x)G(y) \mathop{\mathrm d\!}x \mathop{\mathrm d\!}y,$$ $H$$H_+$$H_-$$Y$$X$

예

증거가없는 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

1. $X$$Y$$(X,Y)$$Y$$X$

   $$Y=\mu_Y+\sigma_Y \frac{X-\mu_X}{\sigma_X}.$$ $-1$$1$$X$$Y$

2. $X$$Y$$Y$$Y=a-bX$$a$$b$$Y$$X$$Y$$[-1/e, 1]\approx [-0.37, 1]$

3. $X$$Y$

   $$\pm \frac{1}{\sqrt{e-1}} \approx 0.76.$$

모든 경계는 모집단 상관 관계에 대한 것입니다. 샘플 상관 관계는 특히 작은 샘플 (빠른 예 : 샘플 크기 2)의 경우 경계 외부로 쉽게 확장 될 수 있습니다.

상관 범위 추정

한계 분포에서 시뮬레이션 할 수 있으면 상관 관계의 상한 및 하한을 추정하는 것이 실제로 쉽습니다. 위의 마지막 예에서이 R 코드를 사용할 수 있습니다.

> n = 10^5      # Sample size: 100,000 observations
> x = rnorm(n)  # From the standard normal distribution
> y = rlnorm(n) # From the standard lognormal distribution
>
> # Estimated maximum correlation
> cor( sort(x), sort(y) )
0.772
>
> # Estimated minimum correlation
> cor( sort(x), sort(y, decreasing=TRUE) )
−0.769

실제 데이터 만 있고 한계 분포를 모르는 경우에도 위의 방법을 사용할 수 있습니다. 관측 쌍이 의존적이라면 변수가 의존적이라는 것은 문제가되지 않습니다 . 그러나 많은 관측 쌍 을 갖는 것이 도움이됩니다 .

데이터 변환

$Y$$X$

여기서 실제로하고있는 것은 한계 분포에 의존 하지 않는 새로운 의존성 척도를 만드는 것입니다 . 즉, 당신은 copula 기반의 의존성 척도를 만들고 있습니다. Spearman의  ρ 와 Kendall의  τ 가 가장 잘 알려진 몇 가지 측정법이 이미 존재합니다 . 의존성 개념에 정말로 관심이 있다면, copulas를 조사하는 것은 나쁜 생각이 아닙니다.

결론적으로

마지막 생각과 조언 : 상관 관계를 보는 것만으로도 큰 문제가 있습니다. 생각을 멈 춥니 다. 반면에 산점도를 보면 종종 생각 하기 시작 합니다. 따라서 나의 주요 조언은 산점도를 조사하고 의존성을 명시 적으로 모델링하는 것입니다.

즉, 간단한 상관 관계 측정이 필요한 경우 Spearman의  ρ (및 관련 신뢰 구간 및 테스트)를 사용하면됩니다. 그 범위는 제한되지 않습니다. 그러나 비단 조음 의존도에 유의하십시오. 상관 관계에 대한 Wikipedia 기사 에는 잠재적 문제를 보여주는 몇 가지 멋진 그림이 있습니다.

이 변수들의 분포는 어떻게 구부러져 있습니까? 비정규 성이 유일한 비대칭이라면, 일종의 변형이 도움이되어야합니다. 그러나 이러한 변수에 많은 덩어리가 있다면 변환이 정상화되지 않습니다. 변수가 연속적이지 않은 경우에도 마찬가지입니다.

위반과의 상관 관계는 얼마나 강력합니까? Anscombe Quartet을 살펴보십시오. 몇 가지 문제를 잘 보여줍니다.

다른 유형의 분석은 분석에 따라 다릅니다. 예를 들어, 치우친 변수가 회귀 분석에서 독립 변수 인 경우 전혀 문제가 없을 수 있습니다. 잔차를 살펴 봐야합니다.