자연 로그의 예상 값

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나는 상수를 가진 를 알고 있으므로 주어지면 쉽게 해결할 수 있습니다. 또한이 경우 와 같은 비선형 함수를 적용 할 수 없으며 이를 해결하기 위해 근사를 수행해야한다는 것을 알고 있습니다. 테일러와 함께 그래서 내 질문은 어떻게 해결합니까 ? 테일러와도 비슷한가요? $E(aX+b) = aE(X)+b$ $a,b$ $E(X)$ $E(1/X) \neq 1/E(X)$ $E(\ln(1+X))$

mathematical-statistics

— 매트
소스

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이 경우 델타 방법을 적용 할 수 있습니다.

— Michael R. Chernick

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Jensen 불평등도 조사해야합니다.

— kjetil b halvorsen

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신문에서

YW Teh, D. Newman 및 M. Welling (2006), Latent Dirichlet Allocation을위한 변형 된 베이지안 추론 알고리즘 , NIPS 2006 , 1353-1360.

주위의 2 차 Taylor 확장 은 근사값으로 사용됩니다 . $x_0=\mathbb{E}[x]$ $\mathbb{E}[\log(x)]$

E [\log (x)] \approx \log (E [x]) - \frac{V [x]}{2 E [x]^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(x)]\approx\log(\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2\mathbb{E}[x]^2} \>.$

이 근사값은 응용 프로그램에서 잘 작동하는 것 같습니다.

예상 선형성에 따라 수율에 따라 질문에 맞게 약간 수정하면,

E [\log (1 + x)] \approx \log (1 + E [x]) - \frac{V [x]}{2 (1 + E [x])^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(1+x)]\approx\log(1+\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2(1+\mathbb{E}[x])^2} \>.$

그러나 왼쪽이나 오른쪽이 존재하지 않는 경우가있을 수 있으므로이 근사를 사용할 때는 약간의주의가 필요합니다.

— 사용자 1149913
소스

3

흥미롭게도, 이것은 감마 함수에 근사값을 얻는 데 사용될 수 있습니다.

— 확률

6

또한 대한 정확한 표현이 필요하지 않은 경우 종종 Jensen의 부등식으로 인한 한계가 충분합니다. $\text{E}[\log(X + 1)]$

\log [E (X) + 1] \geq E [\log (X + 1)]

$\log [\text{E}(X) + 1] \geq\text{E}[\log(X + 1)]$

— dsaxton
소스

직접 계산이 불가능하고 단일 변수 경우 젠슨의 불평등은 유용한 결과를 얻는 유일한 옵션에 관한 것입니다. 제안 된 테일러 근사치가 실제로 실제로 작동 할 수 있지만, 나머지 항의 삭제를 유발하는 데 사용할 수있는 이론적 근거는 없습니다. (즉, 무한한 테일러 시리즈 ln (1 + x)는 어쨌든 반지름 | x | <1)로 수렴한다는 점을 명심하십시오.)

X

$X$

— chRrr

가 오목하기 때문에 라고 생각합니다 .

\geq

$\ge$

\log

$\log$

— Deep North

5

에 확률 밀도 가 있다고 가정하십시오 . 당신이 근사 시작하기 전에, 측정 가능한 기능에 대한, 그 기억 , 당신이 수 증명 하는 는 첫 번째 적분이 존재하면 두 번째 적분도 존재하며 같은 값을 가짐을 의미합니다. $X$ $f_X$ $g$

E [g (X)] = \int g (X) d P = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x,

$E[g(X)]=\int g(X)\,dP = \int_{-\infty}^\infty g(x)\,f_X(x)\,dx \, ,$

— 선
소스

1

두 번째 적분이 존재하는 경우. 필요하지 않습니다. Cauchy 분포와 취하십시오 .

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$

— mpiktas

기대치를 정의하기 위해서는 실제로 가 필요하다고 말함으로써 두 번째 계층의 pedantry를 추가 할 것 입니다.

E [| g (X) |] < \infty

$E[|g(X)|]<\infty$

— 확률

2

@mpiktas-이 기대는 실제로 존재 하지만 무한합니다. 더 좋은 예는 Cauchy 분포에 대한 입니다. 이러한 기대치는 통합의 하한과 상한이 무한대 인 경향에 달려 있습니다.

g (x) = x

$g(x)=x$

— 확률

2

@prob : 아니요, 첫 번째 의견 에서이 조건이 필요 하지 않으며이 질문과 관련이있을 수도 있습니다. ( 그러나 당신의 두 번째 논평에 +1을하였습니다 . 이것은 또한 제가 언급하고자하는 의미이기도합니다.)

— 추기경

2

@prob : 충분 하지만 첫 번째 주석을 두 번째 주석과 비교하면 왜 그것이 필요 하지 않은지 알게 될 것입니다 ! :-)

— 추기경

4

일반적인 두 가지 접근 방식이 있습니다.

의 분포를 알고 있다면 의 분포를 찾을 수 있고 거기에서 기대 값을 찾을 수 있습니다. 또는 당신은 사용할 수 있습니다 무의식 통계의 법칙 (즉, 통합 직접 의 도메인에 ). $X$ $\ln(1+X)$ $\ln(1+x) f_{X}(x)$ $x$
당신이 제안한대로, 처음 몇 순간을 안다면 Taylor 근사치를 계산할 수 있습니다.

— Glen_b-복귀 모니카
소스