전력이 매우 낮은 "비밀"통계 테스트가 있습니까?

배경

컴퓨터 과학, 수학 및 때로는 다른 분야에서 "비공식적 인"예는 재미있을뿐만 아니라 특정 개념을 설명하는 데 도움이됩니다.

Bogosort 및 Slowsort 는 특히 다른 정렬 알고리즘과 비교할 때 알고리즘의 속성을 이해하는 데 사용할 수있는 매우 비효율적 인 정렬 알고리즘입니다.
밀교 프로그래밍 언어 는 프로그래밍 언어 의 개념이 얼마나 광범위한지를 보여주고 좋은 프로그래밍 언어를 이해하는 데 도움이됩니다.
바이어 슈트 라스 기능 및 디리클레 기능은 주로 연속성의 개념에 대한 특정 오해를 설명하기 위해 사용을 찾을 수 있습니다.

저는 현재 가설 검정 사용에 대한 몇 가지 가르침을 준비 중이며 매우 낮은 검정력 (다른 결함은 없음)으로 검정하면 통계 검정력의 개념을 설명하는 데 도움이 될 것이라고 생각합니다. (물론, 주어진 예가 관객에게 실용적인지 또는 혼란 스러울 지 여부를 스스로 결정해야합니다.)

실제 질문

의도적으로 저전력, 구체적으로 다음과 같은 통계 테스트가 있습니까?

검정은 가설 검정의 일반적인 프레임 워크에 적합합니다. 즉, 귀무 가설과 함께 작동하고 요구 사항이 있으며 (정확한) p 값을 반환 합니다.
심각한 적용을 목적으로하지 않습니다.
매우 낮은 전력을 사용합니다 (의도적 인 설계 결함으로 인해 낮은 샘플 또는 효과 크기로 인한 것이 아님).

그러한 시험이 존재할 수 없다고 근본적으로 주장 할 수 있다면, 나는 이것이 내 질문에 대한 올바른 대답이라고 생각할 것입니다. 반면에, 그러한 테스트가 과도하게 존재하는 경우, 가장 실용적으로 효율적인 테스트에 관심이 있습니다. 즉, 쉽게 액세스 할 수 있고 눈에 띄는 효과가 있어야합니다.

나는 통계적 실수 (체리 피킹 등) 또는 이와 유사한 일반적인 선택을 요구하지 않습니다 .

내가 지금까지 찾은 것

인터넷 검색은 나를 위해 아무것도 반환하지 않았습니다.

이와 같은 것을 만들려는 모든 시도는 (유용한) 기존 테스트에서 끝나거나 형식이 일반 테스트의 형식이 아닙니다. 예를 들어, 모든 표본이 양성인 경우 모집단에 양성 중앙값이 있는지 여부 만 예 를 반환하는지 여부에 대한 검정을 생각했습니다 . 그러나 해당 테스트는 p 값을 반환 하지 않으므로 일반적인 테스트 프레임 워크에 맞지 않습니다. 양수 및 음수 부호를 테스트 통계량으로 계산하고 그에 따라 p 값을 계산 하면 부호 테스트로 끝나고 합리적인 테스트입니다.

hypothesis-testing teaching humor

— Wrzlprmft
소스

더 수학적인 "비밀 한"예 (많은)는 대중적인 오해에 대한 구체적인 반대 예인 경향이 있습니다. 많은 교과서에는 그러한 예가 들어 있습니다. 알 수 있듯이 질문은 본질적으로 "큰 목록"유형의 질문이므로 너무 광범위합니다 (여러 사용자가 질문이 불분명하다고 결론을 내렸음에도 불구하고). 질문을 명확히하고 범위를 좁 히면 사이트에 더 잘 맞을 수 있습니다.

— Glen_b-복지 모니카

무엇에 비해 저전력? Lehmann은 귀무 가설보다 대안 가설 하에서 검정력이 낮은 일반화 된 우도 비 검정의 예를 제시했습니다.

— Scortchi-Monica Monica 복원

t

$t$

나는 컴퓨터에있을 때 Lehmann 논문을 발굴 할 것이다. null 하에서 검정의 검정력은 검정의 크기 일뿐입니다.

— Scortchi-복원 Monica Monica

제가 몇 년 전 학생 인 클래스에서 사용한 테스트의 예는 "공정한 20면 주사위를 굴리고 1을 굴면 거절합니다"(파워 커브에 대한 논의의 일부)입니다. 물론 이것은 데이터를 완전히 무시하지만 원하는 유형 I 오류율 (예제에서 주어진 맥락에서 5 %)보다 높지 않다는 점에서 "유효한"테스트입니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

답변:

E ϕ (X) = α

$\operatorname{E}\phi(X)=\alpha$

ϕ (x) = {\begin{cases} 0 & when f_{0} (x) < k f_{1} (x) \\ 1 & when f_{0} (x) > k f_{1} (x) \end{cases}

$\phi(x) = \begin{cases} 0\ & \text{when $f_0(x) < kf_1(x)$} \\ 1\ & \text{when $f_0(x) > kf_1(x)$} \end{cases}$

α

$\alpha$

ϕ

$\phi$

H_{0} :

$H_0:$

f_{0}

$f_0$

H_{1} :

$H_1:$

f_{1}

$f_1$

x

$x$

이 결과를 통해 균일하게 가장 강력하고, 로컬에서 가장 강력하고, 동일하게 가장 강력하고 유사하고 가장 강력한 "완전히 바이어스 된"테스트를 얻을 수 있습니다. 이미 가장 강력하게 & c. 테스트 통계에 -1을 곱하면 파티션 순서를 반대로하면서 유도하는 샘플 공간의 파티셔닝을 유지합니다.

@ user54038이 제안한 것처럼 "일반적인 테스트 구성 방법의 실패"가 더 흥미로울 수 있습니다. Lehmann (1950), "통계 가설 테스트 이론의 일부 원칙", Ann. 수학. 통계 학자. , 21 , 1은 다음 예제를 Stein에 속합니다.

$X$ $0, \pm 1, \pm 2$

$\begin{array}{rccccc} - 2 & 2 & - 1 & 1 & 0 \\ Hypothesis H : & \frac{α}{2} & \frac{α}{2} & \frac{1}{2} - α & \frac{1}{2} - α & α \\ Alternatives: & p C & (1 - p) C & \frac{1 - C}{1 - α} (\frac{1}{2} - α) & \frac{1 - C}{1 - α} (\frac{1}{2} - α) & α \frac{1 - c}{1 - α} \end{array}$ $\begin{array}{r c c c c c} & -2 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ \hline \text{Hypothesis $H$:} & \frac{\alpha}{2} & \frac{\alpha}{2} & \frac{1}{2} - \alpha & \frac{1}{2} - \alpha & \alpha\\ \hline \text{Alternatives:} & pC & (1-p)C & \frac{1-C}{1-\alpha}\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) & \frac{1-C}{1-\alpha}\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) & \alpha\frac{1-c}{1-\alpha}\\ \end{array}$ $\alpha$ $C$ $0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$ $\frac{\alpha}{2-\alpha}< C <\alpha$ $p$ $[0,1]$

$H$ $\alpha$ $X=\pm2$ $C$ $C<\alpha$ $\alpha$ $X$

$p$ $X=-2$ $X=2$ $\hat p=1$ $\hat p=0$ $\frac{2C}{\alpha}$ $X$ $\frac{1-C}{1-\alpha}$

— 5 회전
소스

(@Scortchi의 코멘트와 관련됨)

$X \sim N(\mu, 1)$

\begin{aligned} H_{0} & : μ = 0 \\ H_{1} & : μ \neq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} H_0&: \mu = 0 \\ H_1&: \mu \neq 0 \end{align*}$

$Z \sim Bernoulli(p)$ $p$ $\alpha$ $p \in [\alpha, 1]$

R = {(X, Z) | z = 1 \land | x | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})}

$R = \left\{(X, Z) \ | \ z = 1 \ \wedge |x| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right) \right\}$

$\alpha$

\begin{aligned} P (X \in R | μ = 0) & = P (Z = 1, | X | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})) \\ = P (Z = 1) P (| X | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})) \\ = p \frac{α}{p} = α \end{aligned}

$\begin{align*} P(X\in R \ | \ \mu=0) &= P\left(Z=1 \ , \ |X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= P(Z=1)P\left(|X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= p\frac{\alpha}{p} = \alpha \end{align*}$

$p$ $(x, z) = (1000000, 0)$ $p=\alpha$ $X$ $\alpha$

$Z$

— 회전식 놈럼
소스

S

$S$

Z = 1 (S < F_{S}^{- 1} (p))

$Z=\boldsymbol{1}(S<F_S^{-1}(p))$

F_{S} (\cdot)

$F_S(\cdot)$

S

$S$