확률

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과 가 매개 변수 갖는 독립 기하 랜덤 변수 라고 가정 합니다. 확률은 얼마입니까? $X_1$ $X_2$ $p$ $X_1 \geq X_2$

과 에 대해 기하학적 인 것 외에는 아무 것도 않기 때문에이 질문에 대해 혼란스러워 합니다. 이 않을까요 때문에 및 범위에서 아무것도 할 수 있는가? $X_1$ $X_2$ $50\%$ $X_1$ $X_2$

편집 : 새로운 시도

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = 및 $P(X1 < X2)$ $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

따라서, = = 추가 에 = $P(X1 > X2)$ $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ $\frac{1-p}{2-p}$
$P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ $P(X1 ≥ X2)$ $\frac{1}{2-p}$

이 올바른지?

self-study random-variable geometric-distribution

— IrCa
소스

3

'자기 학습'태그를 추가하십시오.

— StubbornAtom

1

때문에 사실 X1과 X2이산 변수는 평등 조금 덜 분명 일을한다.

— usεr11852

13

이므로 될 수 없습니다 $50\%$ $P(X_1=X_2)>0$

한 가지 접근 방식 :

샘플 공간을 분할 하는 세 가지 이벤트 및 를 고려하십시오. $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ $P(X_1=X_2)$

처음 둘 사이에는 분명한 연관성이 있습니다. 세 번째에 대한 표현을 작성하고 단순화하십시오. 따라서 문제를 해결하십시오.

— Glen_b-복귀 모니카
소스

새 답변으로 게시물을 수정했습니다. 살펴보고 그것이 올바른지 볼 수 있습니까?

— IrCa

1

네, 당신의 대답은 정확 해 보입니다. 비슷한 아이디어를 사용하는 다른 방법은 (다시 말해서 및 의 대칭 / 교환 가능성 활용 에 주목하는 것 입니다.

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b-복지국 모니카

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글렌의 제안에 따른 당신의 대답은 맞습니다. 덜 우아한 또 다른 방법은 다음과 같습니다.

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

이렇게하면 두 개의 기하학적 시리즈를 처리 한 후 동일한 가 제공됩니다 . 글렌의 방법이 더 좋습니다. $1/(2-p)$

— 선
소스

4

참고-당신의 방법은 내가 생각하는 새로운 문제에 적용하는 것이 좋습니다. 그것이 첫 번째 원칙에 기초하기 때문입니다. glen_b의 답변에서 트릭 / intuiton은 일반적으로 제공 한 후 문제가되어 당신의 방법 해결했다

— probabilityislogic

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@probabilityislogic "첫 번째 원칙"에서 파생 된 것에 대한 열정을 공유합니다. 그러나, 현대 수학자로, 찾고 대칭을 악용하는 것은 더욱 근본적인 당신이 참조하는 첫 번째 원칙 (정의)보다 : 우리는 그것을 호출 할 수 있습니다 metaprinciple 수학. 그것은 단순한 "트릭"그 이상입니다.

— whuber