중앙 한계 정리가 왜 시뮬레이션에서 분해됩니까?

다음과 같은 숫자가 있다고 가정 해 봅시다.

4,3,5,6,5,3,4,2,5,4,3,6,5

5 개 중 일부를 샘플링하고 5 개 샘플의 합을 계산합니다. 그런 다음 반복해서 반복하여 많은 합계를 얻습니다. 그리고 히스토그램으로 합계 값을 플로팅합니다. 중앙 한계 정리로 인해 가우시안이됩니다.

그러나 그들이 숫자를 따를 때, 나는 방금 4를 큰 숫자로 바꿨습니다.

4,3,5,6,5,3,10000000,2,5,4,3,6,5

이것들로부터 5 개의 샘플의 샘플링 합계는 히스토그램에서 결코 가우스가되지 않지만, 분할과 더 유사하며 2 개의 가우스가됩니다. 왜 그런가요?

중심 한계 정리가 말한 것을 정확하게 기억합시다.

경우 독립적이고 동일하게 (공유), 평균 확률 변수 분산되어 및 표준 편차 후, 는 표준 정규 분포 (*) 으로 분포가 수렴됩니다 .$X_1, X_2, \cdots, X_k$$\mu$$\sigma$$\frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_k}{k\frac{\sigma}{\sqrt{k}}}$$N(0, 1)$

이것은 종종 "비공식"형식으로 사용됩니다.

경우 (공유) 평균이 독립적이고 동일하게 분산 된 랜덤 변수 및 표준 편차 다음 "분포"는 표준 정규 분포에 수렴 .$X_1, X_2, \cdots, X_k$$\mu$$\sigma$$X_1 + X_2 + \cdots + X_k$$N(k \mu, \sqrt{k} \sigma)$

"제한"분포 변경 때문에 CLT 형식을 수학적으로 정확하게 만드는 좋은 방법은 없지만 실무에 유용합니다.

우리가 다음과 같은 정적 숫자 목록을 가질 때

4,3,5,6,5,3,10000000,2,5,4,3,6,5

우리는이리스트에서 무작위로 숫자를 가져 와서 샘플링하고 있습니다. 샘플링 기법이이 두 가지 독립 조건을 충족시키고 동일하게 분포되어 있는지 확인해야하는 중심 한계 정리를 적용합니다.

• 동일하게 배포해도 문제가되지 않습니다. 목록의 각 숫자를 동일하게 선택할 수 있습니다.
• 독립적은 더 미묘하며 샘플링 체계에 달려 있습니다. 교체하지 않고 샘플링하는 경우 독립성을 위반합니다. 중심 한계 정리가 적용되는 것은 교체를 통해 표본 추출하는 경우에만 해당됩니다.

따라서 계획에서 교체 샘플링 과 함께 사용 하는 경우 중앙 한계 정리를 적용 할 수 있어야합니다. 동시에 샘플의 크기가 5 인 경우 샘플에서 매우 큰 숫자를 선택했는지 또는 선택하지 않은지에 따라 매우 다른 동작을 보게됩니다.

문질러 무엇입니까? 음, 속도 우리의 인구가 매우 왜곡 경우 정규 분포에 수렴은 우리가 특히로부터 샘플이 제공되고 인구의 형태에 매우 의존, 우리는 정상으로 수렴하는 데 시간이 오래 걸릴 것으로 예상된다. 이 예에서는 이러한 경우이므로 크기 5의 표본이 정상적인 구조를 표시하기에 충분하다고 기 대해서는 안됩니다.

위의 5, 100 및 1000 크기의 샘플에 대해 (대체 샘플링으로) 실험을 반복했습니다. 매우 큰 샘플의 경우 정상적인 구조가 나타납니다.

(*) 유한 평균 및 분산과 같은 일부 기술적 조건이 필요합니다. 목록 예제의 샘플링에서 사실임을 쉽게 확인할 수 있습니다.

일반적으로 CLT 근사값이 양호하려면 각 표본의 크기가 보다 커야 합니다. 경험 법칙은 크기가 이상인 표본입니다 . 그러나 첫 번째 예에서는 가 괜찮습니다.$5$$30$$5$

pop <- c(4, 3, 5, 6, 5, 3, 4, 2, 5, 4, 3, 6, 5)
N <- 10^5
n <- 5
x <- matrix(sample(pop, size = N*n, replace = TRUE), nrow = N)
x_bar <- rowMeans(x)
hist(x_bar, freq = FALSE, col = "cyan")
f <- function(t) dnorm(t, mean = mean(pop), sd = sd(pop)/sqrt(n))
curve(f, add = TRUE, lwd = 2, col = "red")

두 번째 예에서는 모집단 분포의 모양으로 인해 (한 가지로 너무 많이 기울어졌습니다. guy 와 Glen_b 벨로우즈 의 의견을 읽으십시오 ) 크기가 샘플조차도 분포의 근사치가 아닙니다. CLT를 사용한 표본 평균.$30$

pop <- c(4, 3, 5, 6, 5, 3, 10000000, 2, 5, 4, 3, 6, 5)
N <- 10^5
n <- 30
x <- matrix(sample(pop, size = N*n, replace = TRUE), nrow = N)
x_bar <- rowMeans(x)
hist(x_bar, freq = FALSE, col = "cyan")
f <- function(t) dnorm(t, mean = mean(pop), sd = sd(pop)/sqrt(n))
curve(f, add = TRUE, lwd = 2, col = "red")

그러나이 두 번째 모집단에서는 크기 표본 이 적합합니다.$100$

pop <- c(4, 3, 5, 6, 5, 3, 10000000, 2, 5, 4, 3, 6, 5)
N <- 10^5
n <- 100
x <- matrix(sample(pop, size = N*n, replace = TRUE), nrow = N)
x_bar <- rowMeans(x)
hist(x_bar, freq = FALSE, col = "cyan")
f <- function(t) dnorm(t, mean = mean(pop), sd = sd(pop)/sqrt(n))
curve(f, add = TRUE, lwd = 2, col = "red")

복잡한 누적 생성 함수를 사용하여 왜 모든 사람들이 왜 이것을 비난하고 있는지 설명하고 싶습니다 .

샘플링하는 랜덤 변수를 . 여기서 는 평균이고 는 표준 편차이므로 는 평균 과 분산 입니다. 의 누적 생성 함수 는 입니다. 여기서 은 의 스큐를 나타냅니다 . 원래 변수 의 비스듬한 , 즉 로 작성할 수 있습니다. .$\mu+\sigma Z$$\mu$$\sigma$$Z$$0$$1$$Z$$-\frac{1}{2}t^2-\frac{i\gamma_1}{6}t^3+o(t^3)$$\gamma_1$$Z$$\kappa_3$$\mu+\sigma Z$$\gamma_1=\sigma^{-3}\kappa_3$

분포 의 표본의 합을 나누면 결과는 cgf정규 근사가 그래프가 제대로 보이도록 충분히 큰 에서 유효 하려면 충분히 큰 필요합니다 . 이 계산은 동기를 부여 합니다. 고려한 두 샘플의 값은 과 매우 다릅니다 .$n$$Z$$\sqrt{n}$

짧은 대답은 중앙 한계 정리를 적용하기에 충분히 큰 표본이 ​​없다는 것입니다.